Наряду с понятием к числу основных форм мышления относится суждение. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Примеры суждений: «Космонавты существуют», «Париж больше Марселя», «Некоторые числа появляются четными». Если то, о чем говорится в суждении, соответствует действительному положению вещей, то суждение истинно. Указанные выше суждения являются истинными, так как в них адекватно (верно) отражено то, что имеет место в действительности. В противном случае суждение ложно («Все растения являются съедобными»).

Традиционная логика является двузначной, потому что в ней суждение имеет одно из двух значений истинности: оно либо истинно, либо ложно. В трехзначных логиках – разновидности многозначных логик – суждение может быть либо истинным, либо ложным, либо неопределенным. Например, суждение «На Марсе есть жизнь» в настоящее время не является ни истинным, ни ложным, а неопределенным. Многие суждения о будущих единичных событиях являются неопределенными. Об этом писал еще Аристотель, приводя пример такого неопределенного суждения: «Завтра необходимо будет морское сражение».

Языковой формой выражения суждения является предложение. Суждение выражается повествовательным предложением, всегда содержащим в себе либо утверждение, либо отрицание. Суждение и предложение различаются по своему составу. Всякое простое суждение состоит их трех элементов:

1)субъекта суждения – это понятие о предмете суждения. Субъект суждения обозначается буквой S (от латинского слова subjectum );

2)предиката суждения – понятия о признаке предмета, о котором говорится в суждении. Предикат обозначается буквой Р (от лат. praedicatum ) ;

3)связки , выражаемой в русском языке словами «есть», «является», «суть».

Субъект и предикат называются терминами суждения. В структуру некоторых суждений входят еще так называемые кванторные слова («некоторые», «все», «ни один», «иногда» и др.). Кванторное слово указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части.

ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

1. Суждения свойства (атрибутивные):

в них утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности.

Схемы этого вида суждения: « S есть Р » или « S не есть Р».

Примеры : «Мед сладкий», «Шопен не является драматургом».

2. Суждения с отношениями:

суждения, отражающие отношения между предметами.

Формула , выражающая суждение с двуместным отношением, записывается как а Rb или R (а, b ), где а и b – имена предметов (члены отношения), а R – имя отношения. В суждении с отношением может что-либо утверждаться или отрицаться не только о двух, но и о трех, четырех или большем числе предметов, например: «Москва находится между Санкт-Петербургом и Киевом». Такие суждения выражаются формулой R (a , a , a ,…, a ).

Примеры: «Всякий протон тяжелее электрона», «Французский писатель Виктор Гюго родился позднее французского писателя Стендаля», «Отцы старше своих детей».

3. Суждения существования (экзистенциальные):

в них выражается сам факт существования или несуществования предмета суждении.

Схемы этого вида суждения: « S есть Р » или « S не есть Р».

Примеры этих суждений: «Существуют атомные электростанции», «Не существует беспричинных явлений».

В традиционной логике все три указанных вида суждений представляют собой простые категорические суждения. По качеству связки («есть» или «не есть») категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные . Суждения: «Некоторые учителя являются талантливыми воспитателями » и «Все ежи колючие » – утвердительные. Суждения: «Некоторые книги не являются букинистическими » и «Ни один кролик не является хищным животным » – отрицательные. Связка «есть» в утвердительном суждении отражает присущность предмету (предметам) некоторых свойств. Связка «не есть» отражает то, что предмету (предметам) не присуще некоторое свойство.

Некоторые логики считали, что в отрицательных суждениях нет отражения действительности. На самом деле отсутствие определенных признаков также представляет собой действительный признак, имеющий объективную значимость. В отрицательном истинном суждении наша мысль разъединяет (разделяет) то, что находится разделенным в объективном мире.

В познании утвердительное суждение имеет в общем случае большее значение, чем отрицательное, ибо важнее раскрыть, каким признаком обладает предмет, чем то, каким он не обладает, так как любой предмет не обладает очень многими свойствами (например, дельфин не рыба, не насекомое, не растение, не пресмыкающееся и т.д.).

В зависимости от того, обо всем ли классе предметов, о части этого класса или об одном предмете идет речь в субъекте, суждения делятся на общие, частные и единичные.

Например : «Все соболя – ценные пушные звери» и «Все здравомыслящие люди хотят долгой, счастливой и полезной жизни» (П. Брэгг) – общие суждения ; «Некоторые животные – водоплавающие» – частное ; «Везувий – действующий вулкан» – единичное .

Структура общего суждения : «Все S суть (не суть) Р». Единичные суждения будут трактоваться как общие, так как их субъектом является одноэлементный класс.

Среди общих суждений встречаются выделяющие суждения, в состав которых входит кванторное слово «только». Примеры выделяющих суждений: «Брэгг пил только дистиллированную воду»; «Смелый человек не боится правды. Ее боится только трус» (А. К. Дойл).

Среди общих суждений имеются исключающие суждения, например: «Все металлы при температуре 20°С, за исключением ртути, твердые». К числу исключающих суждений относятся и те, в которых выражены исключения из тех или иных правил русского или иных языков, правил логики, математики, других наук.

Частные суждения имеют структуру : «Некоторые S суть (не суть) Р». Они делятся на неопределенные и определенные. Например, «Некоторые ягоды ядовиты» – неопределенное частное суждение. Мы не установили, обладают ли признаком ядовитости все ягоды, но не установили и то, что признаком ядовитости не обладают некоторые ягоды. Если мы установили, что «только некоторые S обладают признаком Р», то это будет определенное частное суждение, структура которого: «Только некоторые S суть (не суть) Р». Примеры: «Только некоторые ягоды ядовиты»; «Только некоторые фигуры являются сферическими»; «Только некоторые тела легче воды». В определенных частных суждениях часто применяются кванторные слова: большинство, меньшинство, немало, не все, многие, почти все, несколько и др.

В единичном суждении субъектом является единичное понятие. Единичные суждения имеют структуру : «Это S есть (не есть) Р». Примеры единичных суждений: «Озеро Виктория не находится в США»; «Аристотель – воспитатель Александра Македонского»; «Эрмитаж – один из крупнейших в мире художественных и культурно-исторических музеев».

Таким образом, особое место в классификации суждений занимают выделяющие, исключающие и определенно-частные суждения, строящиеся на основе атрибутивных суждений и представляющие собой некоторые усложненные варианты последних:

Процедура приведения предложений естественного языка к канонической форме категорических суждений

1.Определить квантор, субъект и предикат высказывания.

2.Поставить кванторные слова «все» («ни один») или «некоторые» в начале высказывания.

3.Поставить субъект высказывания после кванторного слова.

4.Поставить логическую связку «есть» («суть») или «не есть» («не суть») после субъекта высказывания.

5.Поставить предикат высказывания после логической связки.

При выполнении последней операции следует иметь в виду следующее:

· во-первых, если предикат выражен существительным, которое может быть представлено одним словом или словосочетанием, то в данном случае предикат остается без изменения;

· во-вторых, если предикат выражен прилагательным (причастием), которое может быть представлено одним словом или словосочетанием, то в этом случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания;

· в-третьих, если предикат выражен глаголом, который может быть представлен одним словом или словосочетанием, то в таком случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания, а глагол превратить в соответствующее ему причастие.

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристики. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие четыре типа суждений :

1. А – общеутвердительное суждение.

Структура: «Все S суть Р».

Пример: «Все люди хотят счастья».

2. I – частноутвердительное суждение.

Структура: «Некоторые S есть Р».

Пример: «Некоторые уроки стимулируют творческую активность учащихся».

ü Условные обозначения для утвердительных суждений взяты от слова affirmo , или утверждаю; при этом берутся две первые гласные буквы: А – для обозначения общеутвердительного и I – для обозначения частноутвердительного суждения.

3. Е – общеотрицательное суждение.

Структура: «Ни одно S не есть Р».

Пример: «Ни один океан не является пресноводным».

4. O – частноотрицательное суждение.

Структура: «Некоторые S не есть Р».

Пример: «Некоторые спортсмены не являются чемпионами Олимпийских игр».

ü Условное обозначение для отрицательных суждений взяты от слова nego , или отрицаю.

В суждениях термины S и Р могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным , если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределенным , если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из него. Проанализируем четыре вида суждений: А, I, Е, О (мы рассматриваем типичные случаи).

1. Суждение А – общеутвердительное . Его структура: «Все S суть Р ».

Рассмотрим два случая:

Пример 1 . В суждении «Все караси – рыбы» субъектом является понятие «карась», а предикатом – понятие «рыба». Квантор общности – «все». Субъект распределен, так как речь идет обо всех карасях, т.е. его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в нем мыслится только часть рыб, которые совпадают с карасями; речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.

Пример 2 . В суждении «Все квадраты – равносторонние прямоугольники» термины такие: S – «квадрат», Р – «равносторонний прямоугольник» и квантор общности – «все». В этом суждении S распределен и P распределен, ибо их объемы полностью совпадают. Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях и в выделяющих общих суждениях.

2. Суждение I – частноутвердительное . Его структура: «Некоторые S суть Р ». Рассмотрим два случая.

Пример 1 . В суждении «Некоторые подростки – филателисты» термины такие: S – «подросток», Р – «филателист», квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть подростков, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются подростками). Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.

Пример 2 . В суждении «Некоторые писатели – драматурги» термины такие: S – «писатель», Р – «драматург» и квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, ибо объем предиката полностью входит в объем субъекта. Таким образом, Р распределен, если объем Р меньше объема S , что бывает в частных выделяющих суждениях.

3. Суждение Е – общеотрицательное . Его структура: «Ни одно S не суть Р ». Например : «Ни один лев не есть травоядное животное». В нем термины такие: S – «лев», Р – «травоядное животное» и кванторное слово – «ни один». Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Поэтому и S , и Р распределены.

4. Суждение О – частноотрицательное . Его структура: «Некоторые S не суть Р ». Например : «Некоторые учащиеся не являются спортсменами». В нем такие термины: S – «учащийся», Р – «спортсмен» и квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте

Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р ≤ S .

Представим это в таблице распределенности терминов :

Термины/ Вид суждения	A	E	I	O
S
P
P выделяющих суждений

Субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях. Предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В выделяющих суждениях предикат распределен.

Обозначения: + – распределенность термина;

– – нераспределенность термина

· СУЖДЕНИЯ С ОТНОШЕНИЯМИ суть такие суждения, в которых взаимосвязь между двумя терминами – субъектом и предикатом выражается не с помощью связки («есть», «является» и т.п.), а с помощью отношения, в котором что-либо утверждается или отрицается в отношении двух (нескольких) терминов. В такого типа суждениях предикат – отношение, а субъект – два (или несколько) понятий. По количеству понятий, входящих в субъект, определяется местность отношения.

· Суждения с отношениями делятся по качеству на утвердительные и отрицательные. Суждения с отношениями делятся по количеству. Наиболее часто встречающимися являются суждения с двухместными отношениями. Двухместные отношения имеют ряд свойств, на основании которых можно делать умозаключения из суждений об отношениях. Это свойства симметричности, рефлексивности и транзитивности.

• Отношение называется симметричным (от лат. «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами x и y , так и между предметами y и x (если х равно (сходно с, одновременно) y , то и y равно (сходно с, одновременно) х .
• Отношение называется рефлексивным (от лат. «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе (если х =у , то х =х и у =у ).
• Отношение называется транзитивным (от лат. «переход»), если оно имеет место между х и z , тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z (если х равно у и у равно z , то х равно z ).

Всякое суждение выражается в предложении, но не всякое предложение выражает суждение.

Ø Суждения выражаются посредством повествовательных предложений, всегда содержащих в себе либо утверждение, либо отрицание. Именно поэтому повествовательные предложения как грамматический эквивалент суждения представляет собой вполне законченную мысль, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами, факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной.

Ø Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, так как в них ничего не утверждается и не отрицается. Они не истинны и не ложны. Например: «Когда ты начнешь работать в саду?» или «Эффективен ли этот метод изучения иностранного языка?». Если в предложении выражен риторический вопрос, – например: «Кто не хочет счастья?», «Кто из вас не любил?» или «Есть ли что-нибудь чудовищнее неблагодарного человека?» (В. Шекспир), или «Есть ли человек, который смотрит в минуту раздумья на реку и не вспоминает о постоянном движении всех вещей?» (Р. Эмерсон), – то в нем содержится суждение, так как налицо утверждение, уверенность, что «Все хотят счастья» или «Все люди любят» и т. п.

Ø Вопросительно-риторические предложения в своем составе содержат суждения, так как в них что-либо утверждается или отрицается. Они могут быть как истинными, так и ложными.

Побудительные предложения не содержат в своем составе суждений: («Следите за здоровьем»; «Не разводите костры в лесу», «Иди не на каток, а в школу!»). Но предложения, в которых сформулированы воинские команды и приказы, призывы или лозунги, выражают суждения, однако не ассерторические, а модальные (модальные суждения включают в свой состав модальные операторы, выраженные словами: возможно, необходимо, запрещается, доказано и пр.). Например: «Берегите мир!», «Приготовьтесь к старту!», «Мой друг! Отчизне посвятим души прекрасные порывы» (А.С. Пушкин). Эти предложения выражают суждения, но суждения модальные, включающие в себя модальные слова. Как отмечает А.И. Уемов, выражают суждения и такие побудительные предложения: «Берегите мир!», «Не кури!», «Выполняй взятые на себя обязательства!». «Перед любым приемом пищи ешьте салат из сырых овощей или сырые фрукты» и «Не вредите себе перееданием» – эти советы (призывы) знаменитого американского ученого Поля Брэгга, взятые из его книги «Чудо голодания», являются суждениями. Является суждением и призыв: «Люди мира! Соединим усилия в решении общечеловеческих, глобальных проблем!».

Ø Односоставные безличные предложения и назывные являются суждениями лишь при рассмотрении их в контексте и при соответствующем уточнении.

Критерием присутствия в составе предложения суждения является наличие момента утверждения или отрицания, приводящего к оценке суждения на предмет истинности или ложности.

В естественном языке одно и то же суждение может быть выражено посредством различных предложений. Поэтому в логике во избежание неоднозначности и множественности различных содержательных трактовок предложения пользуются термином «высказывание», понимая под ним некоторое формализованное выражение мысли, которое может иметь только одно логическое значение. Суждение, рассматриваемое вместе с выражающим его предложением есть высказывание. Последнее представляет собой грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с однозначно выраженным им смыслом; оно может быть либо истинным, либо ложным.

II . Виды и логическая вероятность сложных суждений

Сложные суждения образуются из простых, а также из других сложных суждений с помощью союзов "если..., то...", "или", "и" и т.д., с помощью отрицания "неверно, что", модальных терминов "возможно, что", "необходимо, что", "случайно, что" и т.д. Эти союзы, отрицание "неверно, что", модальные термины в обыденном языке употребляются в различных смыслах. В научных языках им придается точный смысл, вследствие чего выделяются различные виды суждений, образованных из других суждений посредством, например, одного и того же грамматического союза.

I. Соединительными называются суждения, в которых утверждается наличие двух или более ситуаций. Чаще всего эти суждения выражаются в языке предложениями, содержащими союз "и".

Союз "и" употребляется в разных значениях. Например, предложения "Петров изучил английский язык, и он изучил французский язык" и "Петров изучил французский язык, и он изучил английский язык" выражают одно и то же суждение, а предложения "Петров окончил университет и поступил в аспирантуру" и "Петров поступил в аспирантуру и окончил университет" выражают разные суждения.

Таким образом, существуют разные типы утверждений о наличии двух или более ситуаций, т.е. разные виды соединительных суждений: (неопределенно) конъюнктивные, последовательно конъюнктивные, одновременно конъюнктивные.

1. (Неопределенно) конъюнктивные суждения образуются из двух суждений посредством союза, обозначаемого символом & (читается "и") и называемого знаком (неопределенной) конъюнкции. Определением знака конъюнкции является таблица, показывающая зависимость истинности конъюнктивного суждения от истинности составляющих его суждений.
2. Последовательно конъюнктивные суждения. В этих суждениях утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций. Они образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых символами & ® 2 , & ® 3 и т. д. в зависимости от числа суждений, из которых они образованы. Эти символы называются знаками последовательной конъюнкции и соответственно читаются «…, а затем..», "..., затем..., а затем..." и т.д. Индексы 2,3 и т.д. указывают на местность союза. Форма суждения со знаком двухместной последовательной конъюнкции: & ® 2 (А,В) или (А& ® 2 В). Пример суждения этой формы: "Покупатель оплатил стоимость товара, а затем продавец выдал товар". Вместо выражения "а затем" чаще всего употребляется союз "и": "Покупатель оплатил стоимость товара, и продавец выдал товар". Форма суждения с трехместным союзом. Пример : "Петров заложил квартиру, затем внес деньги в пирамиду, а затем стал человеком без определенного места жительства".
3. Одновременно конъюнктивные суждения. Эти суждения образуются из двух суждений посредством союза "и", называемого знаком одновременной конъюнкции. Обозначение - & = . В этих суждениях утверждается одновременное существование двух ситуаций. Пример: "Идет дождь, и светит солнце".

1. Дизъюнктивные, или нестрого-разделительные, или соединительно-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций. Они образуются из двух суждений посредством союза "или", обозначаемого знаком v (читается "или"), называемым знаком нестрогой дизъюнкции (или просто знаком дизъюнкции).
2. Строго-дизъюнктивные, или строго-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие ровно одной из двух, трех или более ситуаций. Они образуются из двух, трех и т.д. суждений посредством союзов "или..., или..." ("либо..., либо..."), "или..., или..., или..." и т.д. Иногда союз "или..., или..." заменяется союзом "или", а его разделительный смысл определяется контекстом. Союзы, посредством которых образуются строго-дизъюнктивные суждения, обозначаются знаком v .

III . Условные суждения выражаются как правило, предложениями с союзом "если …, то …". В них утверждается, что наличие одной ситуации обусловливает наличие другой. Пример: "Если солнце находится в зените, то тени от него являются самыми короткими". В условном суждении выделяют основание и следствие. Основанием называется та часть условного суждения, которая находится между словом "если" и словом "то". Часть условного суждения, которая находится после слова "то", называется следствием . В суждении "Если идет дождь, то крыши домов мокрые" основанием является простое суждение "идет дождь", а следствием - "крыши домов мокрые".

Более строго условное суждение определяется посредством понятия достаточного условия. Условие является достаточным для какого-либо события, какой-либо ситуации, если, и только если, всегда, когда имеется это условие, имеется и событие (ситуация). Так, наличие свободных электронов в веществе является достаточным условием для того, чтобы вещество было электропроводным. Условным называется суждение, в котором ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием. Условный союз "если..., то…" обозначается стрелкой (® ).

IV . Контрфактические суждения. Пример: "Если бы Петров был президентом, то не ездил бы по городу на автобусе". Как и в условных суждениях, в этих суждениях выделяют основание и следствие. Союз "если бы…, то…" обозначается знаком É , который называется знаком контрфактической импликации. Суждение имеет такой смысл ситуация, описываемая основанием, не имеет места, но если бы она существовала, то существовало бы следствие

V . Эквивалентные суждения. В суждениях эквивалентности утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций. Эти суждения выражаются, как правило, посредством предложений с союзом "если, и только если, ..., то..." ("тогда, и только тогда, …, когда..."). В них тоже можно выделить основания и следствия. Основание в них выражает достаточное и необходимое условие для ситуации, описываемой следствием (Условие называется необходимым для данного события (ситуации, действия и т.д.), если, и только если, при его отсутствии это событие не происходит.) Союз "если, и только если, …, то ", употребляемый в описанном смысле, обозначается символом º

В суждении эквивалентности событие, описываемое следствием, также является достаточным и необходимым условием для события, описываемого основанием.

VI . Суждение с внешним отрицанием. Это такое высказывание, в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации.

Внешнее отрицание обозначается символом «l» (знаком отрицания). Данному знаку в естественном языке соответствует отрицание «не» или выражение «неверно, что», которые обычно стоят в начале предложения. Располагая выражение «неверно, что» перед произвольным ложным высказыванием, получаем истинное высказывание, а из истинного высказывания посредством подстановки к нему выражения «неверно, что», образуем ложное высказывание. Суждение с внешним отрицанием относится к сложным суждениям и образуется из простого посредством отрицания.

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи. Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина». Тождественно-ложная формула – та, которая (соответственно) принимает только значение «ложь». Выполняемая формула может принимать значения как «истина», так и «ложь».

Итак, конъюнкция (а b ) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (a b ) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (a b ) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (a É b ) истинна во всех случаях, кроме одного - когда а - истинно, b - ложно. Эквиваленция (a º b ) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (ù a ) истины дает ложь, и наоборот.

Ø Любую языковую конструкцию, состоящую из некоторого множества суждений, можно перевести на символический язык. Для этого нужно заменить суждения логическими переменными, а связь между ними – логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются переменные, зависит логическая особенность сложного суждения, его форма.

Ø Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «истина» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически необходимым . Другими словами, сложные суждения, которые во всех строках результирующего столбца таблиц истинности принимают значение «истина» являются логически необходимыми (логически истинными) суждениями. Логическая форма логически необходимого суждения выражается тождественно-истинной формулой, которая при любом истинностном значении переменных принимает значение «истина», то есть ее результирующий столбец состоит только из «И». Тождественно-истинные формулы являются основой логически правильных высказываний. Каждая такая формула рассматривается как закон логики (логическая тавтология).

Ø Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «ложь» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически невозможным . Другими словами, сложные суждения, которые со всех сторон результирующего столбца таблицы истинности принимают значение «ложь» являются логически невозможными (логически ложными) суждениями. Логическая форма логически невозможного суждения выражается тождественно-ложной формулой, которая принимает значение «ложь» при любом истинностном значении переменных, то есть ее результирующий столбец состоит только из «Л». Тождественно-ложные формулы называются противоречиями .

Ø Сложное суждение, логическая форма которого в результирующем столбце таблицы истинности принимает значения как «истина», так и «ложь», называется логически случайным . Логическая форма логически случайного суждения выражается нейтральной (собственно выполнимой) формулой, результирующий столбец которой состоит как из «И», так и из «Л».

Ø Особенность первых двух видов сложных суждений заключается в том, что их истинность и ложность не зависят от истинности и ложности простых суждений, которые их составляют. Логически случайные суждения иногда истинны, иногда ложны. И зависит это от того, какие простые суждения истинны, а какие ложны.

III . Отрицание суждений

ОТРИЦАНИЕ СУЖДЕНИЯ – это операция, состоящая в преобразовании логического содержания отрицаемого суждения, конечным результатом которой является формулирование нового суждения, находящегося в отношении противоречия к исходному суждению.

При отрицании простых атрибутивных суждений :

1)общее суждение меняется на частное, и наоборот;

2)утвердительное суждение меняется на отрицательное, и наоборот.

Отрицание атрибутивных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:

ù А равнозначно О ù О равнозначно А

ù Е равнозначно I ù I равнозначно Е

Отрицание сложных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:

ù (А & В) равнозначно ù А v ù В; по закону де Моргана

ù (А vВ) равнозначно ù А & ù В;

ù (А É В) равнозначно А & ù В;

ù (А º В) равнозначно (ù А & В) v (А & ù В);

ù (А v В) равнозначно А º В

IV . Отношение между суждениями

Отношения между суждениями по истинности принято схематически изображать в виде «логического квадрата»:

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЖНЫМИ СУЖДЕНИЯМИ

Отношения между сложными суждениями подразделяются на зависимые (сравнимые) и независимые (несравнимые). Независимые – суждения, которые не имеют общих составляющих; для них характерны все сочетания истинных значений. Зависимые – это суждения, которые имеют одинаковые составляющие и могут различаться логическими связками, включая отрицание. Зависимые, в свою очередь, подразделяются на совместимые (суждения, которые одновременно могут быть истинными) и несовместимые (суждения, которые одновременно не могут быть истинными).

Отношения

V . Модальность суждений

МОДАЛЬНОСТЬ – это выраженная в суждении дополнительная информация о логическом или фактическом статусе суждения, о регулятивных, оценочных, временных и других его характеристиках.

Ассерторические суждения, то есть атрибутивные и реляционные суждения, а также образованные из них сложные высказывания можно рассматривать как суждения с неполной информацией. Основной функцией атрибутивного суждения является отражение связей между предметом и его признаками. О предмете S можно просто сказать, что он имеет свойство P . Такое атрибутивное суждение является просто утверждением. Наряду с просто утверждением (отрицанием) выделяют так называемые сильные и слабые утверждения и отрицания, которые являются модальными суждениями.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДАЛЬНОСТЕЙ:

Ø АЛЕТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – выраженная в суждении посредством модальных понятий «необходимо», «обязательно», «непременно», «случайно», «возможно», «может быть», «не исключается», «допускается» и др. информация о логической или фактической детерминированности суждения. В алетической группе выделяют онтологическую (фактическую ) модальность, которая связана с объективной детерминированностью суждений, когда их истинность или ложность определяется ситуацией, имеющей место в реальной действительности , и логическую модальность , которая связана с логической детерминированностью суждения, когда истинность или ложность определяется формой или структурой суждения .

Ø ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – это выраженная в суждении посредством модальных операторов «известно», «неизвестно», «доказуемо», «опровержимо», «предполагается» и т.д. информация об основаниях принятия и степени его обоснованности.

Ø ДЕОНТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – выраженное в суждении предписание в форме совета, пожелания, правила поведения или приказа, побуждающее человека к конкретным действиям. К деонтическим относят и нормы права (здесь можно выделить следующие операторы: «обязан», «должен», «надлежит», «признается», «запрещается», «не может», «не допускается», «имеет право», «может иметь», «может принять» и др.).

Модальность суждения (р ) представляется с помощью оператора М , по схеме Мр (например, «возможно Р»). Истинность модального суждения зависит от истинности суждения, стоящего под модальным оператором, и от типа модального оператора.

Модальные простые суждения

Простые суждения, выражающие характер связи между субъектом и предикатом с помощью модальных операторов (модальных понятий)

p É q ); M (p º q ).

Пример: Из сложного высказывания «Если температура выше 100 градусов, то вода превращается в пар» можно получить модальное высказывание «Физически необходимо, что если температура выше 100 градусов, то вода превращается в пар».

VI . Понятие логического закона

Правильное мышление должно отвечать следующим требованиям: быть определенным, последовательным, непротиворечивым и обоснованным. Определенное мышление – точное и строгое, свободное от всякой сбивчивости. Последовательное мышление – свободное от внутренних противоречий, разрушающих необходимые связи между мыслями. Непротиворечивость связана с недопущением взаимоисключающих, как одинаково приемлемых, в том или ином отношении мыслей. Обоснованное мышление – не просто формулирующее истину, но вместе с тем указывающее те основания, по которым она должна быть признана истиной.

Так как черты определенности, последовательности, непротиворечивости и обоснованности являются необходимыми свойствами всякого мышления, то они имеют над мышлением силу законов. Там, где мышление оказывается правильным, оно во всех своих действиях и операциях повинуется определенным логическим законам.

Как уже отмечалось, логической формой мысли является строение мысли, то есть способ связи ее составных частей. Так, между мыслями, логические формы которых представлены выражениями «Все S есть Р» и «все Р есть S » имеется связь: если истинна одна из этих мыслей, то истинна и вторая, независимо от конкретного содержания этих мыслей. Связи между мыслями, при которых истинность одних с необходимостью обусловливают истинность других, определяют формально-логические законы, или законы логики.

§ ЗАКОНЫ ЛОГИКИ – это такие выражения, которые являются истинными только в силу своей логической формы, то есть только на основании связи их составляющих. Другими словами, логическим законом является сама логическая форма, гарантирующая истинность выражения при любом содержании.

§ ЗАКОН ЛОГИКИ – это выражение, содержащее только константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) предметной области (так, любой закон логики высказываний или логики предикатов является примером логического закона). Это так называемые законы связи между мыслями . Логические законы принято называть также тавтологиями .

§ ЛОГИЧЕСКАЯ ТАВТОЛОГИЯ – это «всегда истинное выражение», то есть остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь. Любой закон логики является логической тавтологией.

§ Особую роль играют так называемые законы (принципы), определяющие необходимые общие условия , которым должны удовлетворять наши мысли и логические операции с мыслями. В традиционной логике в качестве таковых рассматриваются:

В математической логике закон тождества выражается следующими формулами:

аº а (в логике высказываний) и Аº А (в логике классов, в которой классы отождествляются с объемами понятий).

Тождество есть равенство, сходство предметов в каком-либо отношении. Например, все жидкости тождественны в том, что они теплопроводны, упруги. Каждый предмет тождествен самому себе. Но реально тождество существует в связи с различием. Нет и не может быть двух абсолютно тождественных вещей (например, двух листочков дерева, близнецов и т.д.). Вещь вчера и сегодня и тождественна, и различна. Например, внешность человека изменяется с течением времени, но мы его узнаем и считаем одним и тем же человеком. Абстрактного, абсолютного тождества в действительности не существует, но в определенных границах мы можем отвлечься от существующих различий и фиксировать свое внимание на одном только тождестве предметов или их свойств.

В мышлении закон тождества выступает в качестве нормативного правила (принципа). Он означает, что нельзя в процессе рассуждения подменять одну мысль другой, одно понятие – другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные – за тождественные.

Например, тождественными по объему будут три такие понятия: «ученый, по инициативе которого был основан Московский университет»; «ученый, сформулировавший принцип сохранения материи и движения»; «ученый, ставший с 1745 г. первым русским академиком Петербургской академии» – все они обозначают одного и того же человека (М.В. Ломоносова), но дают различную информацию о нем.

Нарушение закона тождества приводит к двусмысленностям, что можно видеть, например, в следующих рассуждениях: «Ноздрев был в некотором отношении исторический человек. Ни на одном собрании, где он был, не обходилось без истории» (Н. В. Гоголь). «Стремись уплатить свой долг, и ты достигнешь двоякой цели, ибо тем самым его исполнишь» (Козьма Прутков). Игра слов в этих примерах построена на употреблении омонимов.

В мышлении нарушение закона тождества проявляется тогда, когда человек выступает не по обсуждаемой теме, произвольно подменяет один предмет обсуждения другим, употребляет термины и понятия в другом смысле, чем принято, не предупреждая об этом.

Отождествление (или идентификация) широко используется в следственной практике, например, при опознании предметов, людей, отождествлении почерков, документов, подписей на документе, отождествлении отпечатков пальцев.

2. Закон непротиворечия: Если предмет А обладает определенным свойством, то в суждениях об А люди должны утверждать это свойство, а не отрицать его . Если же человек, утверждая что-либо, отрицает то же самое или утверждает нечто несовместимое с первым, налицо логическое противоречие. Формально-логические противоречия – это противоречия путаного, неправильного рассуждения. Такие противоречия затрудняют познание мира.

Мысль противоречива, если мы об одном и том же предмете в одно и то же время и в одном и том же отношении нечто утверждаем и то же самое отрицаем. Например: «Кама – приток Волги» и «Кама не является притоком Волги». Или: «Лев Толстой – автор романа «Воскресение» и «Лев Толстой не является автором романа «Воскресение».

Противоречия не будет, если мы говорим о разных предметах или об одном и том же предмете, взятом в разное время или в разном отношении. Противоречия не будет, если мы скажем: «Осенью дождь полезен для грибов» и «Осенью дождь не полезен для уборки урожая». Суждения «Этот букет роз свежий» и «Этот букет роз не является свежим» также не противоречат друг другу, ибо предметы мысли в этих суждениях берутся в разных отношениях или в разное время.

Не могут быть одновременно истинными следующие четыре типа простых суждений:

∧ ā. Закон непротиворечия читается так: «Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том отношении». К противоположным суждениям относятся: 1) противные (контрарные) суждения А и Е , которые оба могут быть ложными, поэтому не являются отрицающими друг друга, и их нельзя обозначить как а и ā; 2) противоречащие (контрадикторные) суждения А и О , Е и I , а также единичные суждения «Это S есть P » и «Это S не есть Р», которые являются отрицающими, так как если одно из них истинно, то другое обязательно ложно, поэтому их обозначают а и ā.

Формула закона непротиворечия в двузначной классической логике а ∧ ā отражает лишь часть содержательного аристотелевского закона непротиворечия, так как она относится только к противоречащим суждениям (а и не-а) и не распространяется на противные (контрарные суждения). Поэтому формула а∧ ā неадекватно, не полностью представляет содержательный закон непротиворечия. Следуя традиции, мы за формулой а∧ ā сохраняем название «закон непротиворечия», хотя оно значительно шире, чем данная формула.

Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, отрицается и считается ложным. Поэтому в полемике при опровержении мнения оппонента широко используется метод «приведения к абсурду».

3. Закон исключенного третьего: Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано . Противоречащими (контрадикторными) называются такие два суждения, в одном из которых что-либо утверждается о предмете, а в другом то же самое об этом же предмете отрицается, поэтому они не могут быть оба одновременно истинными и оба ложными; одно из них истинно, а другое обязательно ложно. Такие суждения называются отрицающими друг друга. Если одно из противоречащих суждений обозначить переменной а , то другое следует обозначить ā . Так, из двух суждений: «Джеймс Фенимор Купер является автором серии романов о Кожаном Чулке, создававшихся на протяжении почти 20 лет» и «Джеймс Фенимор Купер не является автором серии романов о Кожаном Чулке, создававшихся на протяжении почти 20 лет» первое истинно, второе ложно, и третьего – промежуточного – суждения не может быть.

Отрицающими являются следующие пары суждений:

1) «Это S есть Р» и «Это S не есть Р» (единичные суждения).

2) «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» (суждения А и О ).

3) «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р» (суждения Е и I ).

В отношении противоречащих (контрадикторных) суждений (А и О , Е и I ) действует как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечия – в этом одно из сходств данных законов.

Различие в областях определения (т.е. применения) этих законов в том, что по отношению противных (контрарных) суждений А и Е (например: «Все грибы – съедобны» и «Ни один гриб не является съедобным»), которые оба не могут быть истинными, но оба могут быть ложными, распространяется действие лишь закона непротиворечия и не распространяется действие закона исключенного третьего. Итак, сфера действия содержательного закона непротиворечия шире (это контрарные и контрадикторные суждения), чем сфера действия содержательного закона исключенного третьего (лишь контрадикторные, т.е. суждения типа а и не-а ). Действительно, истинно одно из двух суждений: «Все дома в данной деревне электрифицированы» или «Некоторые дома в данной деревне не являются электрифицированными» и третьего не дано.

Закон исключенного третьего и в содержательном, и в формализованном виде охватывает один и тот же круг суждений – противоречащие, т.е. отрицающие друг друга. Формула закона исключенного третьего: А v ù А

В мышлении закон исключенного третьего предполагает четкий выбор одной из двух взаимоисключающих альтернатив. Для корректного ведения дискуссии выполнение этого требования обязательно.

4. Закон достаточного основания: Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной . Речь идет об обосновании только истинных мыслей: ложные мысли обосновать нельзя, и нечего пытаться «обосновать» ложь, хотя нередко отдельные люди пытаются это сделать. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всем людям, но настаивать на своих ошибках свойственно лишь глупцам».

Суждение (высказывание ) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается. Например: «Все сосны являются деревьями», «Некоторые люди – это спортсмены», «Ни один кит – не рыба», «Некоторые животные не являются хищниками» .

Рассмотрим несколько важных свойств суждения, которые в то же время отличают его от понятия:

1. Любое суждение состоит из понятий, связанных между собой.

Например, если связать понятия «карась » и «рыба », то могут получиться суждения: «Все караси являются рыбами», «Некоторые рыбы являются карасями» .

2. Любое суждение выражается в форме предложения (вспомним, понятие выражается словом или словосочетанием). Однако не всякое предложение может выражать суждение. Как известно, предложения бывают повествовательными, вопросительными и восклицательными. В вопросительных и восклицательных предложениях ничего не утверждается и не отрицается, поэтому они не могут выражать собой суждение. Повествовательное предложение, наоборот, всегда что-либо утверждает или отрицает, в силу чего суждение выражается в форме повествовательного предложения. Тем не менее есть такие вопросительные и восклицательные предложения, которые только по форме являются вопросами и восклицаниями, а по смыслу что-то утверждают или отрицают. Они называются риторическими . Например, известное высказывание: «И какой же русский не любит быстрой езды? » – представляет собой риторическое вопросительное предложение (риторический вопрос), т. к. в нём в форме вопроса утверждается, что всякий русский любит быструю езду.

В подобном вопросе заключено суждение. То же самое можно сказать о риторических восклицаниях. Например, в высказывании: «Попробуй найти чёрную кошку в тёмной комнате, если её там нет! » – в форме восклицательного предложения утверждается мысль о невозможности предложенного действия, в силу чего данное восклицание выражает собой суждение. Понятно, что не риторический, а настоящий вопрос, например: «Как тебя зовут? » – не выражает суждение, точно так же, как не выражает его настоящее, а не риторическое восклицание, например: «Прощай, свободная стихия!».

3. Любое суждение является истинным или ложным. Если суждение соответствует действительности, оно истинное, а если не соответствует – ложное. Например, суждение: «Все розы – это цветы », – является истинным, а суждение: «Все мухи – это птицы », – ложным. Надо отметить, что понятия, в отличие от суждений, не могут быть истинными или ложными. Невозможно, например, утверждать, что понятие «школа » – истинное, а понятие «институт » – ложное, понятие «звезда » – истинное, а понятие «планета » – ложное и т. п. Но разве понятия «Змей Горыныч », «Кощей Бессмертный », «вечный двигатель » не ложные? Нет, эти понятия являются нулевыми (пустыми), но не истинными и не ложными. Вспомним, понятие – это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект, – и именно поэтому не может быть истинным или ложным. Истинность или ложность – это всегда характеристика какого-то высказывания, утверждения или отрицания, поэтому она применима только к суждениям, но не к понятиям. Поскольку любое суждение принимает одно из двух значений – истины или лжи – то аристотелевская логика также часто называется двузначной логикой .

4. Суждения бывают простыми и сложными. Сложные суждения состоят из простых, соединённых каким-либо союзом.

Как видим, суждение – это более сложная форма мышления по сравнению с понятием. Неудивительно поэтому, что суждение имеет определённую структуру, в которой можно выделить четыре части:

1. Субъект S ) – это то, о чём идёт речь в суждении. Например, в суждении: «», – речь идёт об учебниках, поэтому субъектом данного суждения выступает понятие «учебники ».

2. Предикат (обозначается латинской буквой Р ) – это то, что говорится о субъекте. Например, в том же суждении: «Все учебники являются книгами », – о субъекте (об учебниках) говорится, что они – книги, поэтому предикатом данного суждения выступает понятие «книги ».

3. Связка – это то, что соединяет субъект и предикат. В роли связки могут быть слова «есть», «является», «это» и т. п.

4. Квантор – это указатель на объём субъекта. В роли квантора могут быть слова «все», «некоторые», «ни один» и т. п.

Рассмотрим суждение: «Некоторые люди являются спортсменами ». В нём субъектом выступает понятие «люди », предикатом – понятие «спортсмены », роль связки играет слово «являются », а слово «некоторые » представляет собой квантор. Если в каком-то суждении отсутствует связка или квантор, то они всё равно подразумеваются. Например, в суждении: «Тигры – это хищники », – квантор отсутствует, но он подразумевается – это слово «все». С помощью условных обозначений субъекта и предиката можно отбросить содержание суждения и оставить только его логическую форму.

Например, если у суждения: «Все прямоугольники – это геометрические фигуры », – отбросить содержание и оставить форму, то получится: «Все S есть Р ». Логическая форма суждения: «Некоторые животные не являются млекопитающими », – «Некоторые S не есть Р ».

Субъект и предикат любого суждения всегда представляют собой какие-либо понятия, которые, как мы уже знаем, могут находиться в различных отношениях между собой. Между субъектом и предикатом суждения могут быть следующие отношения.

1. Равнозначность . В суждении: «Все квадраты – это равносторонние прямоугольники », – субъект «квадраты » и предикат «равносторонние прямоугольники » находятся в отношении равнозначности, потому что представляют собой равнозначные понятия (квадрат – это обязательно равносторонний прямоугольник, S = P а равносторонний прямоугольник – это обязательно квадрат) (рис. 18).

2. Пересечение . В суждении:

«Некоторые писатели – это американцы », – субъект «писатели » и предикат «американцы » находятся в отношении пересечения, т. к. являются пересекающимися понятиями (писатель может быть американцем и может им не быть, и американец может быть писателем, но также может им не быть) (рис. 19).

3. Подчинение . В суждении:

«Все тигры – это хищники », – субъект «тигры » и предикат «хищники » находятся в отношении подчинения, потому что представляют собой видовое и родовое понятия (тигр – это обязательно хищник, но хищник не обязательно тигр). Так же в суждении: «Некоторые хищники являются тиграми », – субъект «хищники » и предикат «тигры » находятся в отношении подчинения, будучи родовым и видовым понятиями. Итак, в случае подчинения между субъектом и предикатом суждения возможны два варианта отношений: объём субъекта полностью включается в объём предиката (рис. 20, a ), или наоборот (рис. 20, б ).

4. Несовместимость . В суждении: «», – субъект «планеты » и предикат «звёзды » находятся в отношении несовместимости, т. к. являются несовместимыми (соподчинёнными) понятиями (ни одна планета не может быть звездой, и ни одна звезда не может быть планетой) (рис. 21).

Чтобы установить, в каком отношении находятся субъект и предикат того или иного суждения, надо сначала установить, какое понятие данного суждения является субъектом, а какое – предикатом. Например, надо определить отношение между субъектом и предикатом в суждении: «Некоторые военнослужащие являются россиянами ». Сначала находим субъект суждения, – это понятие «военнослужащие »; затем устанавливаем его предикат, – это понятие «россияне ». Понятия «военнослужащие » и «россияне » находятся в отношении пересечения (военнослужащий может быть россиянином и может им не быть, и россиянин может как быть, так и не быть военнослужащим). Следовательно, в указанном суждении субъект и предикат пересекаются. Точно так же в суждении: «Все планеты – это небесные тела », – субъект и предикат находятся в отношении подчинения, а в суждении: «Ни один кит не является рыбой

Как правило, все суждения подразделяют на три вида:

1. Атрибутивные суждения (от лат. attributum – атрибут) – это суждения, в которых предикат представляет собой какой-либо существенный, неотъемлемый признак субъекта. Например, суждение: «Все воробьи – это птицы », – атрибутивное, потому что его предикат является неотъемлемым признаком субъекта: быть птицей – это главный признак воробья, его атрибут, без которого он не будет самим собой (если некий объект не птица, то он обязательно и не воробей). Надо отметить, что в атрибутивном суждении не обязательно предикат является атрибутом субъекта, может быть и наоборот – субъект представляет собой атрибут предиката. Например, в суждении: «Некоторые птицы – это воробьи » (как видим, по сравнению с вышеприведённым примером, субъект и предикат поменялись местами), субъект является неотъемлемым признаком (атрибутом) предиката. Однако эти суждения всегда можно формально изменить таким образом, что предикат станет атрибутом субъекта. Поэтому атрибутивными обычно называются те суждения, в которых предикат является атрибутом субъекта.

2. Экзистенциальные суждения (от лат. existentia – существование) – это суждения, в которых предикат указывает на существование или несуществование субъекта. Например, суждение: «Вечных двигателей не бывает », – является экзистенциальным, т. к. его предикат «не бывает » свидетельствует о несуществовании субъекта (вернее –предмета, который обозначен субъектом).

3. Релятивные суждения (от лат. relativus – относительный) – это суждения, в которых предикат выражает собой какое-то отношение к субъекту. Например, суждение: «Москва основана раньше Санкт-Петербурга »,– является релятивным, потому что его предикат «основана раньше Санкт-Петербурга » указывает на временное (возрастное) отношение одного города и соответствующего понятия к другому городу и соответствующему понятию, представляющему собой субъект суждения.

Проверьте себя:

1. Что такое суждение? Каковы его основные свойства и отличия от понятия?

2. В каких языковых формах выражается суждение? Почему вопросительные и восклицательные предложения не могут выражать собой суждения? Что такое риторические вопросы и риторические восклицания? Могут ли они быть формой выражения суждений?

3. Найдите в приведённых ниже выражениях языковые формы суждений:

1) Неужели ты не знал, что Земля вращается вокруг Солнца?

2) Прощай, немытая Россия!

3) Кто написал философский трактат «Критика чистого разума»?

4) Логика появилась примерно в V в. до н. э. в Древней Греции.

5) Первый президент Америки.

6) Разворачивайтесь в марше!

7) Мы все учились понемногу…

8) Попробуй-ка двигаться со скоростью света!

4. Почему понятия в отличие от суждений не могут быть истинными или ложными? Что такое двузначная логика?

5. Какова структура суждения? Придумайте пять суждений и укажите в каждом из них субъект, предикат, связку и квантор.

6. В каких отношениях могут быть субъект и предикат суждения? Приведите по три примера для каждого случая отношений между субъектом и предикатом: равнозначности, пересечения, подчинения, несовместимости.

7. Определите отношения между субъектом и предикатом и изобразите их с помощью круговых схем Эйлера для следующих суждений:

1) Все бактерии являются живыми организмами.

2) Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди.

3) Учебники не могут быть развлекательными книгами.

4) Антарктида представляет собой ледовый материк.

5) Некоторые грибы несъедобны.

8. Что такое атрибутивные, экзистенциальные и релятивные суждения? Приведите, самостоятельно подобрав, по пять примеров для атрибутивных, экзистенциальных и релятивных суждений.

2.2. Простые суждения

Если в суждении присутствуют один субъект и один предикат, то оно является простым. Все простые суждения по объёму субъекта и качеству связки делятся на четыре вида. Объём субъекта может быть общим («все») и частным («некоторые»), а связка может быть утвердительной («есть») и отрицательной («не есть»):

Объём субъекта ……………… «все» «некоторые»

Качество связки ……………… «есть» «не есть»

Как видим, на основе объёма субъекта и качества связки можно выделить только четыре комбинации, которыми исчерпываются все виды простых суждений: «все – есть», «некоторые – есть», «все – не есть», «некоторые – не есть». Каждый из этих видов имеет своё название и условное обозначение:

1. Общеутвердительные суждения A ) – это суждения с общим объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Все S есть Р ». Например: «Все школьники являются учащимися ».

2. Частноутвердительные суждения (обозначаются латинской буквой I ) – это суждения с частным объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Некоторые S есть Р ». Например: «Некоторые животные являются хищниками ».

3. Общеотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой E ) – это суждения с общим объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Все S не есть Р (или «Ни одно S не есть Р »). Например: «Все планеты не являются звёздами », «Ни одна планета не является звездой ».

4. Частноотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой O ) – это суждения с частным объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Некоторые S не есть Р ». Например: «».

Далее следует ответить на вопрос, к каким суждениям – общим или частным – следует относить суждения с единичным объёмом субъекта (т. е. те суждения, в которых субъект представляет собой единичное понятие), например: «Солнце – это небесное тело», «Москва основана в 1147 г.», «Антарктида – это один из материков Земли». Суждение является общим, если речь в нём идёт обо всём объёме субъекта, и частным, если речь идёт о части объёма субъекта. В суждениях с единичным объёмом субъекта речь идёт обо всём объёме субъекта (в приведённых примерах – обо всём Солнце, обо всей Москве, обо всей Антарктиде). Таким образом, суждения, в которых субъект является единичным понятием, считаются общими (общеутвердительными или общеотрицательными). Так, три приведённых выше суждения – общеутвердительные, а суждение: «Известный итальянский учёный эпохи Возрождения Галилео Галилей не является автором теории электромагнитного поля », – общеотрицательное.

В дальнейшем будем говорить о видах простых суждений, не употребляя их длинных названий, с помощью условных обозначений – латинских букв A, I, E, O . Эти буквы, взятые из двух латинских слов: a ffi rmo – утверждать и ne go – отрицать, были предложены в качестве обозначения видов простых суждений ещё в Средние века.

Важно отметить, что в каждом из видов простых суждений субъект и предикат находятся в определённых отношениях. Так, общий объём субъекта и утвердительная связка суждений вида A приводят к тому, что в них субъект и предикат могут быть в отношениях равнозначности или подчинения (других отношений между субъектом и предикатом в суждениях вида A быть не может). Например, в суждении: «Все квадраты (S) – это равносторонние прямоугольники (Р) », – субъект и предикат находятся в отношении равнозначности, а в суждении: «Все киты (S) – это млекопитающие животные (Р) », – в отношении подчинения.

Частный объём субъекта и утвердительная связка суждений вида I обусловливают то, что в них субъект и предикат могут быть в отношениях пересечения или подчинения (но не в других). Например, в суждении: «Некоторые спортсмены (S) – это негры (Р) », – субъект и предикат находятся в отношении пересечения, а в суждении: «Некоторые деревья (S) – это сосны (Р) », – в отношении подчинения.

Общий объём субъекта и отрицательная связка суждений вида E приводят к тому, что в них субъект и предикат находятся только в отношении несовместимости. Например, в суждениях: «Все киты (S) – это не рыбы (Р)», «Все планеты (S) не являются звёздами (Р)», «Все треугольники (S) – это не квадраты (Р) », – субъект и предикат несовместимы.

Частный объём субъекта и отрицательная связка суждений вида O обусловливают то, что в них субъект и предикат, так же как и в суждениях вида I , могут быть только в отношениях пересечения и подчинения. Читатель без труда сможет подобрать примеры суждений вида O , в которых субъект и предикат находятся в этих отношениях.

Проверьте себя:

1. Что такое простое суждение?

2. На каком основании простые суждения подразделяются на виды? Почему они делятся именно на четыре вида?

3. Охарактеризуйте все виды простых суждений: название, структура, условное обозначение. Придумайте пример для каждого из них. К каким суждениям – общим или частным – относятся суждения с единичным объёмом субъекта?

4. Откуда взяты буквы для обозначения видов простых суждений?

5. В каких отношениях могут быть субъект и предикат в каждом из видов простых суждений? Подумайте, почему в суждениях вида A субъект и предикат не могут пересекаться или быть несовместимыми? Почему в суждениях вида I субъект и предикат не могут находиться в отношениях равнозначности или несовместимости? Почему в суждениях вида E субъект и предикат не могут быть равнозначными, пересекающимися или подчинёнными? Почему в суждениях вида O субъект и предикат не могут находиться в отношении равнозначности или несовместимости? Изобразите кругами Эйлера возможные отношения между субъектом и предикатом во всех видах простых суждений.

2.3. Распределённые и нераспределённые термины

Терминами суждения называются его субъект и предикат.

Термин считается распределённым (развёрнутым, исчерпанным, взятым в полном объёме), если в суждении речь идёт обо всех объектах, входящих в объём этого термина. Распределённый термин обозначается знаком «+», а на схемах Эйлера изображается полным кругом (кругом, который не содержит в себе другого круга и не пересекается с другим кругом) (рис. 22).

Термин считается нераспределённым (неразвёрнутым, неисчерпанным, взятым не в полном объёме), если в суждении речь идёт не обо всех объектах, входящих в объём этого термина. Нераспределённый термин обозначается знаком «–», а на схемах Эйлера изображается неполным кругом (кругом, который содержит в себе другой круг (рис. 23, a ) или пересекается с другим кругом (рис. 23, б ).

Например, в суждении: «Все акулы (S) являются хищниками (Р) », – речь идёт обо всех акулах, значит, субъект этого суждения распределён.

Однако в данном суждении речь идёт не обо всех хищниках, а только о части хищников (именно о тех, которые являются акулами), следовательно, предикат указанного суждения нераспределён. Изобразив отношения между субъектом и предикатом (которые находятся в отношении подчинения) рассмотренного суждения схемами Эйлера, увидим, что распределённому термину (субъекту «акулы ») соответствует полный круг, а нераспределённому (предикату «хищники ») – неполный (попадающий в него круг субъекта как бы вырезает из него какую-то часть):

Распределённость терминов в простых суждениях может быть различной в зависимости от вида суждения и характера отношений между его субъектом и предикатом. В табл. 4 представлены все случаи распределённости терминов в простых суждениях:

Здесь рассмотрены все четыре вида простых суждений и все возможные случаи отношений между субъектом и предикатом в них (см. раздел 2. 2). Обратите внимание на суждения вида O , в котором субъект и предикат находятся в отношении пересечения. Несмотря на пересекающиеся круги на схеме Эйлера, субъект данного суждения нераспределён, а предикат распределён. Почему так получается? Выше мы говорили о том, что пересекающиеся на схеме круги Эйлера обозначают нераспределённые термины. Штриховкой показана та часть субъекта, о которой идёт речь в суждении (в данном случае – о школьниках, которые спортсменами не являются), в силу чего круг, обозначающий на схеме Эйлера предикат, остался полным (круг, обозначающий субъект, не отрезает от него какую-то часть, как это происходит в суждении вида I , где субъект и предикат находятся в отношении пересечения).

Итак, мы видим, что субъект всегда распределён в суждениях вида A и E и всегда не распределён в суждениях вида I и O , а предикат всегда распределён в суждениях вида E и O , но в суждениях вида A и I он может быть как распределённым, так и нераспределённым в зависимости от характера отношений между ним и субъектом в этих суждениях.

Проще всего устанавливать распределённость терминов в простых суждениях с помощью схем Эйлера (все случаи распределённости из таблицы запоминать совсем не обязательно). Достаточно уметь определять вид отношений между субъектом и предикатом в предложенном суждении и изображать их круговыми схемами. Далее ещё проще – полный круг, как уже говорилось, соответствует распределённому термину, а неполный – нераспределённому. Например, требуется установить распределённость терминов в суждении: «Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди ». Сначала найдём в этом суждении субъект и предикат: «русские писатели » – субъект, «всемирно известные люди » – предикат. Теперь установим, в каком они отношении. Русский писатель может как быть, так и не быть всемирно известным человеком, и всемирно известный человек может как быть, так и не быть русским писателем, следовательно, субъект и предикат указанного суждения находятся в отношении пересечения. Изобразим это отношение на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идёт речь в суждении (рис. 25):

И субъект, и предикат изображаются неполными кругами (у каждого из них как бы отрезана какая-то часть), следовательно, оба термина предложенного суждения нераспределены (S –, P –).

Рассмотрим ещё один пример. Надо установить распределённость терминов в суждении: «». Найдя в этом суждении субъект и предикат: «люди » – субъект, «спортсмены » – предикат, и установив отношение между ними – подчинение, изобразим его на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идёт речь в суждении (рис. 26):

Круг, обозначающий предикат, является полным, а круг, соответствующий субъекту, – неполным (круг предиката как бы вырезает из него какую-то часть). Таким образом, в данном суждении субъект нераспределён, а предикат распределён (S –, P –).

Проверьте себя:

1. В каком случае термин суждения считается распределённым, а в каком – нераспределённым? Как с помощью круговых схем Эйлера можно установить распределённость терминов в простом суждении?

2. Какова распределённость терминов во всех видах простых суждений и во всех случаях отношений между их субъектом и предикатом?

3. С помощью схем Эйлера установите распределённость терминов в следующих суждениях:

1) Все насекомые являются живыми организмами.

2) Некоторые книги – это учебники.

3) Некоторые учащиеся не являются успевающими.

4) Все города – это населённые пункты.

5) Ни одна рыба не является млекопитающим.

6) Некоторые древние греки являются знаменитыми учёными.

7) Некоторые небесные тела – это звёзды.

8) Все ромбы с прямыми углами – это квадраты.

2.4. Преобразование простого суждения

Существует три способа преобразования, т. е. изменения формы, простых суждений: обращение, превращение и противопоставление предикату.

Обращение (конверсия ) – это преобразование простого суждения, при котором субъект и предикат меняются местами. Например, суждение: «Все акулы являются рыбами », – преобразуется путём обращения в суждение: «». Здесь может возникнуть вопрос, почему исходное суждение начинается с квантора «все », а новое – с квантора «некоторые »? Этот вопрос, на первый взгляд, кажется странным, ведь нельзя же сказать: «Все рыбы являются акулами », – следовательно, единственное, что остаётся, это: «Некоторые рыбы являются акулами ». Однако в данном случае, мы обратились к содержанию суждения и по смыслу поменяли квантор «все » на квантор «некоторые »; а логика, как уже говорилось, отвлекается от содержания мышления и занимается только его формой. Поэтому обращение суждения: «Все акулы являются рыбами », – можно выполнить формально, не обращаясь к его содержанию (смыслу). Для этого установим распределённость терминов в этом суждении с помощью круговой схемы. Термины суждения, т. е. субъект «акулы » и предикат «рыбы », находятся в данном случае в отношении подчинения (рис. 27):

На круговой схеме видно, что субъект распределён (полный круг), а предикат нераспределён (неполный круг). Вспомнив, что термин распределён, когда речь идёт обо всех входящих в него предметах, и нераспределён, когда – не обо всех, мы автоматически мысленно ставим перед термином «акулы » квантор «все », а перед термином «рыбы » квантор «некоторые ». Делая обращение указанного суждения, т. е. меняя местами его субъект и предикат и начиная новое суждение с термина «рыбы », мы опять же автоматически снабжаем его квантором «некоторые », не задумываясь о содержании исходного и нового суждений, и получаем безошибочный вариант: «Некоторые рыбы являются акулами ». Возможно, всё это покажется чрезмерным усложнением элементарной операции, однако, как увидим далее, в иных случаях преобразование суждений сделать непросто без использования распределённости терминов и круговых схем.

Обратим внимание на то, что в рассмотренном выше примере исходное суждение было вида A , а новое – вида I , т. е. операция обращения привела к смене вида простого суждения. При этом, конечно же, поменялась его форма, но не поменялось содержание, ведь в суждениях: «Все акулы являются рыбами » и «Некоторые рыбы являются акулами », – речь идёт об одном и том же. В табл. 5 представлены все случаи обращения в зависимости от вида простого суждения и характера отношений между его субъектом и предикатом:

Суждение вида A I . Суждение вида I обращается или в само себя, или в суждение вида A . Суждение вида E всегда обращается в само себя, а суждение вида O не поддаётся обращению.

Второй способ преобразования простых суждений, называемый превращением (обверсией ), заключается в том, что у суждения меняется связка: положительная на отрицательную, или наоборот. При этом предикат суждения заменяется противоречащим понятием (т. е. перед предикатом ставится частица «не»). Например, то же самое суждение, которое мы рассматривали в качестве примера для обращения: «Все акулы являются рыбами », – преобразуется путём превращения в суждение: «». Это суждение может показаться странным, ведь обычно так не говорят, хотя на самом деле перед нами более короткая формулировка той мысли, что ни одна акула не может быть таким существом, которое не является рыбой, или что множество всех акул исключается из множества всех существ, которые не являются рыбами. Субъект «акулы » и предикат «не рыбы » суждения, получившегося в результате превращения, находятся в отношении несовместимости.

Приведённый пример превращения демонстрирует важную логическую закономерность: любое утверждение равно двойному отрицанию, и наоборот. Как видим, исходное суждение вида A в результате превращения стало суждением вида E . В отличие от обращения превращение не зависит от характера отношений между субъектом и предикатом простого суждения. Поэтому суждение вида A E , а суждение вида E – в суждение вида A . Суждение вида I всегда превращается в суждение вида O , а суждение вида O – в суждение вида I (рис. 28).

Третий способ преобразования простых суждений – противопоставление предикату – состоит в том, что сначала суждение подвергается превращению, а потом обращению. Например, чтобы путём противопоставления предикату преобразовать суждение: «Все акулы являются рыбами », – надо сначала подвергнуть его превращению. Получится: «Все акулы не являются не рыбами ». Теперь надо совершить обращение с получившимся суждением, т. е. поменять местами его субъект «акулы » и предикат «не рыбы ». Чтобы не ошибиться, вновь прибегнем к установлению распределённости терминов с помощью круговой схемы (субъект и предикат в этом суждении находятся в отношении несовместимости) (рис. 29):

На круговой схеме видно, что и субъект, и предикат распределены (и тому, и другому термину соответствует полный круг), следовательно, мы должны сопроводить как субъект, так и предикат квантором «все ». После этого совершим обращение с суждением: «Все акулы не являются не рыбами ». Получится: «Все не рыбы не являются акулами ». Суждение звучит непривычно, однако это – более короткая формулировка той мысли, что если какое-то существо не является рыбой, то оно никак не может быть акулой, или что все существа, которые не являются рыбами, автоматически не могут быть и акулами в том числе. Обращение можно было сделать и проще, посмотрев в табл. 5 для обращения, которая приведена выше. Увидев, что суждение вида E всегда обращается в само себя, мы могли, не используя круговой схемы и не устанавливая распределённости терминов, сразу поставить перед предикатом «не рыбы » квантор «все ». В данном случае был предложен другой способ, чтобы показать, что вполне можно обойтись без табл. для обращения, и запоминать её совсем необязательно. Здесь происходит примерно то же самое, что и в математике: можно запоминать различные формулы, но можно обойтись и без запоминания, т. к. любую формулу нетрудно вывести самостоятельно.

Все три операции преобразования простых суждений проще всего совершать с помощью круговых схем. Для этого надо изобразить три термина: субъект, предикат и понятие, противоречащее предикату (непредикат). Потом следует установить их распределённость, и из получившейся схемы Эйлера будут вытекать четыре суждения – одно исходное и три результата преобразований. Главное, помнить, что распределённый термин соответствует квантору «все », а нераспределённый – квантору «некоторые »; что соприкасающиеся на схеме Эйлера круги соответствуют связке «является », а несоприкасающиеся – связке «не является ». Например, требуется совершить три операции преобразования с суждением: «Все учебники являются книгами ». Изобразим субъект «учебники », предикат «книги » и непредикат «не книги » круговой схемой и установим распределённость этих терминов (рис. 30):

1. Все учебники являются книгами (исходное суждение).

2. Некоторые книги являются учебниками (обращение).

3. Все учебники не являются не книгами (превращение).

4. Все не книги не являются учебниками

Рассмотрим ещё один пример. Надо преобразовать тремя способами суждение: «Все планеты не являются звёздами ». Изобразим кругами Эйлера субъект «планеты », предикат «звёзды » и непредикат «не звёзды ». Обратите внимание на то, что понятия «планеты » и «не звёзды » находятся в отношении подчинения: планета – это обязательно не звезда, но небесное тело, которое не является звездой – это не обязательно планета. Установим распределённость этих терминов (рис. 31):

1. Все планеты не являются звёздами (исходное суждение).

2. Все звёзды не являются планетами (обращение).

3. Все планеты являются не звёздами (превращение).

4. Некоторые не звёзды являются планетами (противопоставление предикату).

Проверьте себя:

1. Каким образом осуществляется операция обращения? Возьмите три каких-нибудь суждения и произведите с каждым из них обращение. Как происходит обращение во всех видах простых суждений и во всех случаях отношений между их субъектом и предикатом? Какие суждения не поддаются обращению?

2. Что такое превращение? Возьмите три любых суждения и совершите с каждым из них операцию превращения.

3. Что представляет собой операция противопоставления предикату? Возьмите три каких-нибудь суждения и преобразуйте каждое из них путём противопоставления предикату.

4. Каким образом знания о распределённости терминов в простых суждениях и умение её устанавливать с помощью круговых схем может помочь в проведении операций преобразования суждений?

5. Возьмите какое-нибудь суждение вида A и совершите с ним все операции преобразования с помощью круговых схем и установления распределённости терминов. Сделайте то же самое с каким-нибудь суждением вида E .

2.5. Логический квадрат

Простые суждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Сравнимые (идентичные по материалу) суждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками. Например, суждения: «», «Некоторые школьники не изучают математику », – являются сравнимыми: у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются. Несравнимые суждения имеют разные субъекты и предикаты. Например, суждения: «Все школьники изучают математику », «Некоторые спортсмены – это олимпийские чемпионы », – являются несравнимыми: субъекты и предикаты у них не совпадают.

Сравнимые суждения бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой.

Совместимыми называются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения: «Некоторые люди – это спортсмены », «Некоторые люди – это не спортсмены », – являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения.

Несовместимыми называются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые школьники не изучают математику », – не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).

Совместимые суждения могут находиться в следующих отношениях:

1. Равнозначность – это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения: «Москва является древним городом »,

«Столица России является древним городом », – находятся в отношении равнозначности.

2. Подчинение – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения: «Все растения являются живыми организмами », «Все цветы (некоторые растения) являются живыми организмами », – находятся в отношении подчинения.

3. Частичное совпадение (субконтрарность) Некоторые грибы являются съедобными », «Некоторые грибы не являются съедобными », – находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения – частноутвердительные (I ) и частноотрицательные (O ).

Несовместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.

1. Противоположность (контрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: «Все люди являются правдивыми », «», – находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения – общеутвердительные (A ) и общеотрицательные (E ). Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, два приведённых противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми.

Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий, средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями: «Все люди являются правдивыми », «Все люди не являются правдивыми », – есть третий, средний вариант: «Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми », – который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух крайних, противоположных суждений.

2. Противоречие (контрадикторность) – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки различны, а субъекты отличаются своими объёмами, т. е. находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения: «Все люди являются правдивыми», «Некоторые люди не являются правдивыми» , – находятся в отношении противоречия. Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего, среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот – ложность одного обусловливает истинность другого. К противоположным и противоречащим суждениям мы ещё вернёмся, когда речь пойдёт о логических законах противоречия и исключённого третьего.

Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата (рис. 32), который был разработан ещё средневековыми логиками:

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида A и вида I , а также суждения вида E и вида O находятся в отношении подчинения. Суждения вида A и вида E находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида O – частичного совпадения. Суждения вида A и вида O , а также суждения вида E и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность – это отношение между суждениями A и A , I и I , E и E , O и O . Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: «Все люди изучали логику », «Некоторые люди не изучали логику ». Видя, что первое суждение является общеутвердительным (A ), а второе частноотрицательным (O ), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Суждения: «Все люди изучали логику (A) », «Некоторые люди изучали логику (I) », находятся в отношении подчинения, а суждения: «Все люди изучали логику (A) », «Все люди не изучали логику (E) », – находятся в отношении противоположности.

Как уже говорилось, важным свойством суждений, в отличие от понятий, является то, что они могут быть истинными или ложными.

Что касается сравнимых суждений, то истинностные значения каждого из них определённым образом связаны с истинностными значениями остальных. Так, если суждение вида A является истинным или ложным, то три других (I , E , O ), сравнимых с ним суждения (имеющих сходные с ним субъекты и предикаты), в зависимости от этого (от истинности или ложности суждения вида A ) тоже являются истинными или ложными. Например, если суждение вида A : «Все тигры – это хищники », – является истинным, то суждение вида I : «Некоторые тигры – это хищники », – также является истинным (если все тигры – хищники, то и часть из них, т. е. некоторые тигры – это тоже хищники), суждение вида E : «Все тигры – это не хищники », – является ложным, и суждение вида O : «Некоторые тигры – это не хищники », – также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида A вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений вида E и вида O (разумеется, речь идёт о сравнимых суждениях, т. е. имеющих одинаковые субъекты и предикаты).

Проверьте себя:

1. Какие суждения называются сравнимыми и какие – несравнимыми?

2. Что такое совместимые и несовместимые суждения? Приведите по три примера совместимых и несовместимых суждений.

3. В каких отношениях могут быть совместимые суждения? Приведите по два примера для отношений равнозначности, подчинения и частичного совпадения.

4. В каких отношениях могут быть несовместимые суждения?

Приведите по три примера для отношений противоположности и противоречия. Почему противоположные суждения могут быть одновременно ложными, а противоречащие не могут?

5. Что представляет собой логический квадрат? Каким образом он изображает отношения между суждениями? Почему логический квадрат не изображает отношение равнозначности? Как с помощью логического квадрата определять отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями?

6. Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида A и сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений видов E , I , O . Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида E и сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений A , I , O .

2.6. Сложное суждение

В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения соединяются в сложные, выделяется пять видов сложных суждений:

1. Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком «?». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ? b (читается «a и b »), где a и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: «Сверкнула молния, и загремел гром », – является конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: «Сверкнула молния», «Загремел гром» . Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: «Сверкнула молния, и загремел гром, и пошёл дождь (a ? b ? c )».

2. Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом «или». Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида:

1. Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается условным знаком «?». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ? b (читается «a или b »), где a и b Он изучает английский, или он изучает немецкий », – является нестрогой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он изучает английский», «Он изучает немецкий». Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой.

2. Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его строгом (исключающем) значении, который обозначается условным знаком «». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «или a , или b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе », – является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он учится в 9 классе», «Он учится в 11 классе» . Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то точно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой.

Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: «Он изучает английский, или он изучает немецкий, или он изучает французский (a ? b ? c) », «Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a b c) ».

3. Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a > b (читается «если a , то b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если вещество является металлом, то оно электропроводно », – представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: «Вещество является металлом», «Вещество электропроводно» . В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом). Первая часть импликации называется основанием , а вторая – следствием ; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: a > b , можно прочитать так: «если a , то обязательно b , но если b , то не обязательно a ».

4. Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком «», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a , то b , и если b , то a »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если число является чётным, то оно делится без остатка на 2 », – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: «Число является чётным», «Число делится без остатка на 2» . Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число чётное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно чётное. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две её части являются равнозначными суждениями.

5. Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬a (читается «неверно, что a »), где a – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b ? В записи: ¬a , уже присутствуют два простых суждения: a – это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое – отрицательное. Пример отрицательного суждения: «Неверно, что все мухи являются птицами ».

Итак, мы рассмотрели пять видов сложных суждений: конъюнкцию, дизъюнкцию (нестрогую и строгую), импликацию, эквиваленцию и отрицание.

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение: «Уж полночь близится, а Германа всё нет », – является конъюнкцией, потому что в нём союз «а » употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза: «Посеешь ветер, пожнёшь бурю », – является импликацией, т. к. два простых суждения в нём связаны по смыслу условным союзом «если…то».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Приведена табл. 6 истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений (таких наборов всего четыре): оба простых суждения истинные; первое суждение истинное, а второе ложное; первое суждение ложное, а второе истинное; оба суждения ложные).

Как видим, конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба входящих в неё простых суждения. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в неё суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция, наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в неё простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в неё простые суждения. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно входящее в неё простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в неё простых суждений, а все остальные ложны. Импликация ложна только в одном случае – когда её основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих её простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение истинно, его отрицание ложно; когда утверждение ложно, его отрицание истинно.

Проверьте себя:

1. На каком основании выделяются виды сложных суждений?

2. Охарактеризуйте все виды сложных суждений: название, союз, условное обозначение, формула, пример. Чем отличается нестрогая дизъюнкция от строгой? Как отличить импликацию от эквиваленции?

3. Каким образом можно определить вид сложного суждения, если в нём вместо союзов «и», «или», «если… то» употребляются какие-либо другие союзы?

4. Приведите по три примера для каждого вида сложных суждений, не используя при этом союзов «и», «или», «если…то».

5. Определите, к какому виду относятся следующие сложные суждения:

1. Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением.

2. Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны.

3. Вчера он получил двойку не только по математике, но ещё и по русскому.

4. Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток.

5. Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет.

6. Или же он совершенно бездарен, или же полный лентяй.

7. Когда человек льстит, он лжёт.

8. Вода превращается в лёд лишь при температуре от 0 °C и ниже.

6. От чего зависит истинность сложных суждений? Какие значения истинности принимают конъюнкция, нестрогая и строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание в зависимости от всех наборов истинностных значений входящих в них простых суждений?

2.7. Логические формулы

Любое высказывание или целое рассуждение можно подвергнуть формализации. Это значит отбросить его содержание и оставить только его логическую форму, выразив её с помощью уже известных нам условных обозначений конъюнкции, нестрогой и строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Например, чтобы формализовать следующее высказывание: «Он занимается живописью, или музыкой, или литературой », – надо сначала выделить входящие в него простые суждения и установить вид логической связи между ними. В приведённое высказывание входят три простых суждения: «Он занимается живописью», «Он занимается музыкой», «Он занимается литературой» .

Эти суждения объединены разделительной связью, однако они друг друга не исключают (можно заниматься и живописью, и музыкой, и литературой), следовательно, перед нами – нестрогая дизъюнкция, форму которой можно представить следующей условной записью: a ? b ? c , где a , b , c – указанные выше простые суждения. Форму: a ? b ? c , можно наполнить каким угодно содержанием, например: «Цицерон был политиком, или оратором, или писателем», «Он изучает английский, или немецкий, или французский», «Люди передвигаются наземным, или воздушным, или водным транспортом ».

Формализуем рассуждение: «Он учится в 9 классе, или в 10 классе, или в 11 классе. Однако, известно, что он не учится ни в 10, ни в 11 классе. Следовательно, он учится в 9 классе ». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение и обозначим их маленькими буквами латинского алфавита: «Он учится в 9 классе (a)», «Он учится в 10 классе (b)», «Он учится в 11 классе (c)» . Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трёх высказываний: a ? b ? c . Вторая часть рассуждения является отрицанием второго: ¬b , и третьего: ¬c , высказываний, причём эти два отрицания соединяются, т. е. связаны конъюнктивно: ¬ b ? ¬ c . Конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трёх простых суждений: (a ? b ? c ) ? (¬ b ? ¬ c ), и уже из этой новой конъюнкции как следствие вытекает утверждение первого простого суждения: «Он учится в 9 классе ». Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения выражается формулой: ((a ? b ? c ) ? (¬ b ?¬ c )) > a . Эту логическую форму можно наполнить любым содержанием. Например: «Впервые человек полетел в космос в 1957 г., или в 1959 г., или в 1961 г. Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 г. и не в 1959 г.. Следовательно, впервые человек полетел в космос в 1961 г. » Ещё один вариант: «Философский трактат «Критика чистого разума» написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс. Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата. Следовательно, его написал Кант ».

Результатом формализации любого рассуждения, как мы увидели, является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые высказывания, и условных обозначений логических связей между ними (конъюнкции, дизъюнкции и др.). Все формулы делятся в логике на три вида:

1. Тождественно-истинные формулы являются истинными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (простых суждений). Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон.

2. Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных.

Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.

3. Выполнимые (нейтральные) формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.

Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически безупречным. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически неверным (ошибочным). Выполнимая (нейтральная) формула свидетельствует о логической корректности того рассуждения, формализацией которого она является.

Для того чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула, и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, обычно составляют специальную таблицу истинности для этой формулы. Рассмотрим следующее рассуждение: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г. или в 1893 г. Однако известно, что он родился не в 1891 г. Следовательно, он родился в 1893 г.» . Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г.». «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1893 г.» . Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний: a ? b . Далее к дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция: (a ? b ) ? ¬ a . И, наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация: ((a ? b ) ? ¬ a ) > b , которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить табл. 7 истинности для получившейся формулы:

Количество строк в таблице определяется по правилу: 2 n , где n – число переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных, то в таблице должно быть четыре строки. Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных и четыре логических союза (?, ?, ¬, >), значит, в таблице должно быть шесть колонок. Первые две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны). Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции, которые она принимает в зависимости от всех (четырёх) наборов истинностных значений переменных. Четвёртая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания: ¬ a . Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания, и, наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы, или импликации. Мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т. е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание также представляет собой двучленное сложное суждение):

В четырёх последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы. Для этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу, где была представлена таблица истинности сложных суждений (см. табл. 6 ), которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в математике). В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе её части истинны или обе ложны; когда же одна её часть истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому значения строгой дизъюнкции в заполняемой таблице (сверху вниз) таковы: «ложно», «истинно», «истинно», «ложно». Далее заполним четвёртую колонку таблицы: ¬ а: когда утверждение два раза истинно и два раза ложно, тогда отрицание ¬ а, наоборот, два раза ложно и два раза истинно. Пятая колонка – это конъюнкция. Зная истинностные значения строгой дизъюнкции и отрицания, мы можем установить истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда, когда истинны все входящие в неё элементы. Строгая дизъюнкция и отрицание, образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только в одном случае, следовательно конъюнкция один раз принимает значение «истинно», а в остальных случаях – «ложно». Наконец, надо заполнить последнюю колонку: для импликации, которая и будет представлять истинностные значения всей формулы. Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним, что импликация ложна только в одном случае: когда её основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является конъюнкция, представленная в пятой колонке таблицы, а следствием простое суждение (b ), представленное во второй колонке. Некоторое неудобство в данном случае заключено в том, что слева направо следствие идёт раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами. В первом случае (первая строчка таблицы, не считая «шапки») основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна. В третьем случае и основание, и следствие истинны, значит, импликация истинна. В четвёртом случае, как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна.

Рассматриваемая формула принимает значение «истинно» при всех наборах истинностных значений входящих в неё переменных, следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически безупречно.

Рассмотрим ещё один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: «Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте. Это здание нуждается в капитальном ремонте. Следовательно, это здание старое ». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение: «Какое-либо здание является старым», «Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте» . Первая часть рассуждения представляет собой импликацию: a > b , этих простых высказываний (первое является её основанием, а второе – следствием). Далее, к импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция: (a > b ) ? b . И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация: ((a > b ) ? b ) > a , которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим табл. 8 её истинности.

В формуле две переменные, значит, в таблице будет четыре строчки; также в формуле три союза (>, ?, >), значит, в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации.

Четвёртая колонка – истинностные значения конъюнкции. Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации. Таким образом, мы разбили формулу на три составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения:

Заполним последовательно три последних колонки таблицы по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т. е. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений (см. табл. 6).

Рассматриваемая формула принимает как значение «истинно», так и значение «ложно» при различных наборах истинностных значений входящих в неё переменных, следовательно, она является выполнимой (нейтральной), а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически корректно, но небезупречно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке, например: «Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы. Слово «Москва» всегда пишется с большой буквы. Следовательно, слово «Москва» всегда стоит в начале предложения ».

Проверьте себя:

1. Что такое формализация высказывания или рассуждения? Придумайте какое-нибудь рассуждение и совершите его формализацию.

2. Формализуйте следующие рассуждения:

1) Если какое-либо вещество является металлом, то оно электропроводно. Медь является металлом. Следовательно, медь электропроводна.

2) Известный английский философ Фрэнсис Бэкон жил в XVII в., или в XV в., или в XIII в. Фрэнсис Бэкон жил в XVII в. Следовательно, он не жил ни в XV в., ни в XIII в.

3) Если ты не упрям, то ты можешь изменить своё мнение. Если же ты можешь изменить своё мнение, то ты способен признать данное суждение ложным. Следовательно, если ты не упрям, то ты способен признать данное суждение ложным.

4) Если сумма внутренних углов геометрической фигуры равна 180°, то такая фигура является треугольником. Сумма внутренних углов данной геометрической фигуры не равна 180°. Следовательно, данная геометрическая фигура не является треугольником.

5) Леса бывают хвойными, или лиственными, или смешанными. Этот лес не лиственный и не хвойный. Следовательно, этот лес смешанный.

3. Что представляют собой тождественно-истинные тождественно-ложные и выполнимые формулы? Что можно сказать о рассуждении, если результатом его формализации является тождественно-истинная формула? Каким будет рассуждение, если его формализация выражается тождественно-ложной формулой? Каковы, с точки зрения логической верности, рассуждения, которые при формализации приводят к выполнимым формулам?

4. Каким образом можно определить вид той или иной формулы, выражающей собой результат формализации некого рассуждения?

По какому алгоритму строятся и заполняются таблицы истинности для логических формул? Придумайте какое-нибудь рассуждение, формализуйте его и с помощью таблицы истинности определите вид получившейся формулы.

2.8. Виды и правила вопроса

Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос.

Поэтому вопрос можно характеризовать в качестве логической формы, как бы предшествующей суждению, представляющей собой своего рода «предсуждение». Таким образом, вопрос – это логическая форма (конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.

Вопросы делятся на исследовательские и информационные.

Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов. Например, вопрос: «Как родилась Вселенная? » – является исследовательским.

Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации). Например, вопрос: «Какова температура плавления свинца? » – является информационным.

Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные.

Категориальные (восполняющие , специальные ) вопросы включают в себя вопросительные слова «кто», «что», «где», «когда», «почему», «как» и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы.

Пропозициональные (от лат. propositio – суждение, предложение) (уточняющие , общие ) вопросы, которые также часто называют, направлены на подтверждение или отрицание некой уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить или отвергнуть. Например, вопрос: «Кто создал периодическую систему химических элементов? » – является категориальным, а вопрос: «Полезно ли изучение математики? » – пропозициональным.

Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными. Можно было бы выразиться наоборот: и категориальные, и пропозициональные вопросы могут быть как исследовательскими, так и информационными. Например: «Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? » – исследовательский категориальный вопрос:

«Есть ли во Вселенной планеты, населённые, как и Земля, разумными существами? » – исследовательский пропозициональный вопрос:

«Когда появилась логика? » – информационный категориальный вопрос: «Верно ли, что число ? – это отношение длины окружности к её диаметру? » – информационный пропозициональный вопрос.

Любой вопрос имеет определённую структуру, которая состоит из двух частей. Первая часть представляет собой некую информацию (выраженную, как правило, каким-нибудь суждением), а вторая часть указывает на её недостаточность и необходимость её дополнения каким-либо ответом. Первая часть, называется основной (базисной) (её также иногда называют предпосылкой вопроса ), а вторая часть – искомой . Например, в информационном категориальном вопросе: «Когда была создана теория электромагнитного поля? » – основная (базисная) часть – это утвердительное суждение: «Была создана теория электромагнитного поля », – а искомая часть, представленная вопросительным словом «когда », указывает на недостаточность информации, содержащейся в базисной части вопроса, и требует её дополнения, которое следует искать в области (категории) временных явлений. В исследовательском пропозициональном вопросе: «Возможны ли полёты землян в другие галактики? », – основная (базисная) часть представлена суждением: «Возможны полёты землян в другие галактики », – а искомая часть, выраженная частицей «ли », указывает на необходимость подтверждения или отрицания этого суждения. В данном случае искомая часть вопроса свидетельствует не об отсутствии какой-то информации, содержащейся в его базисной части, а об отсутствии знания о её истинности или ложности и требует это знание получить.

Наиболее важное логическое требование к постановке вопроса заключается в том, чтобы его основная (базисная) часть была истинным суждением. В этом случае вопрос считается логически корректным. Если же основная часть вопроса представляет собой ложное суждение, то вопрос следует признать логически некорректным. Подобные вопросы не требуют ответа и подлежат отвержению.

Например, вопрос: «Когда было предпринято первое кругосветное путешествие? » – является логически корректным, поскольку его основная часть выражена истинным суждением: «В истории человечества имело место первое кругосветное путешествие ». Вопрос: «В каком году знаменитый английский учёный Исаак Ньютон закончил работу над общей теорией относительности? » – логически некорректен, т. к. его основная часть представлена ложным суждением: «Автором общей теории относительности является знаменитый английский учёный Исаак Ньютон ».

Итак, основная (базисная часть) вопроса должна быть истинной и не должна быть ложной. Однако существуют логически корректные вопросы, основные части которых являются ложными суждениями. Например, вопросы: «Возможно ли создание вечного двигателя?», «Есть ли разумная жизнь на Марсе?», «Изобретут ли машину времени?» – несомненно, следует признать логически корректными, несмотря на то, что их базисные части представляют собой ложные суждения: «. Дело в том, что искомые части этих вопросов направлены на выяснение истинностных значений их основных, базисных частей, т. е. требуется выяснить, истинными или ложными являются суждения: «Возможно создание вечного двигателя», «Есть разумная жизнь на Марсе», «Изобретут машину времени» . В этом случае вопросы логически корректны. Если бы искомые части рассматриваемых вопросов не были направлены на выяснение истинности их основных частей, а имели бы своей целью нечто иное, эти вопросы являлись бы логически некорректными, например: «Где был создан первый вечный двигатель?», «Когда появилась разумная жизнь на Марсе?», «Сколько будет стоить путешествие на машине времени?» . Таким образом, главное правило постановки вопроса следует расширить и уточнить: основная (базисная) часть корректного вопроса должна быть истинным суждением; если же она является ложным суждением, то его искомая часть должна быть направлена на выяснение истинностного значения основной части; в противном случае вопрос будет логически некорректным. Нетрудно догадаться, что требование для основной части быть истинной, по преимуществу, относится к категориальным вопросам, а требование того, чтобы искомая часть была выяснением истинности основной части, относится к пропозициональным вопросам.

Надо отметить, что корректные категориальные и пропозициональные вопросы сходны между собой в том, что на них всегда можно дать истинный ответ (как, впрочем, и ложный). Например, на категориальный вопрос: «Когда закончилась первая мировая война? » – можно дать как истинный ответ: «В 1918 г. », – так и ложный: «В 1916 г. ». На пропозициональный вопрос: «Вращается ли Земля вокруг Солнца? » – также можно дать как истинный: «Да, вращается », – так и ложный: «Нет, не вращается », – ответ. Оба приведённых вопроса логически корректны. Итак, принципиальная возможность получения истинных ответов есть основной признак корректных вопросов. Если же получить истинные ответы на некие вопросы принципиально невозможно, то они являются некорректными. Например, нельзя получить истинный ответ на пропозициональный вопрос: «Закончится ли когда-нибудь первая мировая война? » – так же, как невозможно получить его на категориальный вопрос: «С какой скоростью вращается Солнце вокруг неподвижной Земли? ».

Любые ответы на эти вопросы необходимо будет признать неудовлетворительными, а сами вопросы – логически некорректными, подлежащими отвержению.

Проверьте себя:

1. Что такое вопрос? В чём заключается близость вопроса и суждения?

2. Чем отличаются исследовательские вопросы от информационных? Приведите по пять примеров исследовательских и информационных вопросов.

3. Что представляют собой категориальные и пропозициональные вопросы? Приведите по пять примеров категориальных и пропозициональных вопросов.

4. Охарактеризуйте приведённые ниже вопросы с точки зрения их принадлежности к исследовательским или информационным, а также – категориальным или пропозициональным:

1) Когда был открыт закон всемирного тяготения?

2) Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы?

3) В каком году родился Бонапарт Наполеон?

4) Каково будущее человечества?

5) Возможно ли предотвратить третью мировую войну?

5. Какова логическая структура вопроса? Приведите пример категориального исследовательского вопроса и выделите в нём основную (базисную) и искомую части. Сделайте то же самое с категориальным информационным вопросом, пропозициональным исследовательским вопросом и пропозициональным информационным вопросом.

6. Какие вопросы являются логически корректными, а какие – некорректными? Приведите по пять примеров логически корректных и некорректных вопросов. Может ли быть у логически корректного вопроса ложная основная часть? Достаточно ли для определения корректного вопроса требования истинности его основной части?

Что объединяет логически корректные категориальные и пропозициональные вопросы?

7. Дайте ответ, какие из приведённых ниже вопросов являются логически корректными, а какие некорректными:

1) Во сколько раз планета Юпитер превосходит по размерам Солнце?

2) Какова площадь Тихого океана?

3) В каком году Владимир Владимирович Маяковский написал поэму «Облако в штанах»?

4) Как долго продолжалась плодотворная совместная научная работа Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна?

5) Чему равна длина экватора земного шара?

Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика - это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно их главных её достоинств - возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.

Суждения и высказывания

Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение - это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.

Суждение - это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.

В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «Theskyisblue» - разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.

Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» - истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» - ложное.

Рисунки последовательно представляют отношения: пересечения, дополнительности, подчинения, равнообъёмности и обратного подчинения. С первыми тремя картинками всё должно быть довольно ясно: видно, что объёмы терминов S и P пересекаются, поэтому в области пересечения находятся элементы, которые одновременно обладают и признаком S и признаком P. Примеры истинных высказываний таких типов: «Некоторые актёры хорошо поют», «Некоторые автомобили с ценой ниже миллиона стоят больше шестисот тысяч», «Некоторые грибы съедобны».

Что касается отношений равнообъёмности и обратного подчинения, то может возникнуть вопрос, почему они тоже представляют собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, если на картинках, обозначающих их, чётко видно, что не только некоторые S есть P, но все S есть P. Правда, естественный язык толкает нас к идее, что если некоторые S есть P, то ещё существуют и другие S, которые не есть P: некоторые грибы съедобны, а некоторые несъедобны. Для логиков такое заключение неверно. Из высказывания «Некоторые S есть P» нельзя вывести заключение, что некоторые S не есть P. Зато из высказывания «Все S есть P» можно заключить, что и некоторые S есть P, потому что если что-то верно относительно всех элементов объёма термина, то оно будет верно и относительно некоторых отдельных элементов. Поэтому в силлогистике слово «некоторые» употребляется в значении «по крайней мере некоторые», но не в значении «только некоторые». Таким образом, из высказывания «Все папоротники размножаются спорами» можно смело вывести и высказывание «Некоторые папоротники размножаются спорами», а из высказывания «Все ученики пятого класса являются пионерами» - высказывание «Некоторые ученики пятого класса являются пионерами».

Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы - это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».

Типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих :

Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».

По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.

Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».

Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.

Игра "Пересечение множеств"

В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.

Упражнения

Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.

• Всё действительное разумно, всё разумное действительно.
• Соль - это яд.
• Яд - это соль.
• Все музыканты имеют хороший слух.
• Некоторые музыканты имеют хороший слух.
• Все люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
• Некоторые люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
• Некоторые вампиры опоздали на работу.
• Волколаки - это разновидность оборотней.
• Все круглые квадраты не имеют углов.
• Никто не любит, когда у него болят зубы.
• Ни один попугайчик не пьёт виски.
• Некоторым не нравится их работа.
• Иван Иванович поссорился с Иваном Никифоровичем.
• Фильмы Тарковского считаются классикой русского кино.
• Достоевский никогда не играл в карты.
• Некоторые куздры совсем не глокие.
• Каждый сотрудник мечтает о повышении.
• Некоторые псы умеют читать.
• Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему.
• Некоторые акулы - это рыбы.
• Некоторые люди не летали на Марс.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Цель изучения темы: формирование базовых представлений о суждении как форме мышления, понимание основ их классификации, установление тех операций, которые проводятся над суждениями. Перевод сложного суждения на язык логики высказываний, их проверка на истинность с использованием таблицы истинности.

Значение изучения темы для практической деятельности сотрудников ОВД: знание логических союзов, умение выявлять логическую форму того или другого правового закона может значительно помочь при истолковании законодательства. Можно даже утверждать, что без знания логической формы закона выяснить его смысл вообще невозможно. Если юрист хочет не только прочитать закон, выучить его, но и понять, о чем в нем идет речь, тогда внимание нужно уделять не только анализу содержания этого документа. Не менее важна роль логической экспертизы любых юридических документов, поскольку только логический закон, включенный в юридический закон, даст возможность последнему быть выполненным в полном объеме.

Основные термины и понятия: атрибутивное суждение, дизъюнкция, импликация, истинное суждение, квантор, квантор общности, квантор существования, конъюнкция, ложное суждение, модальное суждение, несовместимые суждения, несравнимые суждения, общеотрицательное суждение, общеутвердительное суждение, отношение противоположности (контрарности), отношение под-противоположности (субконтрарности), отношение противоречия (контрадикторность), предикат суждения, простое суждение, связка, сложное суждение, совместимые суждения, сравнимые суждения, субъект познания, суждение, суждение с отношением, суждение существования, частноотрицательное суждение, частноутвердительное суждение, эквиваленция.

Основное содержание: приступая к изучению темы «Суждения, виды, состав, логические отношения», прежде всего следует дать определение понятию «суждение» как форме мышления.

Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств у предметов, отношения между предметами, связей между ситуациями, или суждение – это такая форма мышления, которая раскрывает связь между предметом и его признаком.

Как и понятие, суждение имеет свою специфическую структуру, которую можно изобразить при помощи следующей формулы:

Например: Все курсанты являются знающими логику людьми.

Таким образом: логическая структура суждения состоит из субъекта «S», предиката «Р» и логической связки «есть / не есть» или «являются/не являются».

Схематично это записывается в виде такой формулы:

«S есть Р» или «S не есть Р» – Где: «S» и «Р» называются терминами суждения.

Проводя аналогию с понятием, можно утверждать, что суждение имеет несколько видов. Когда мы высказываемся об окружающем мире или говорим о внутреннем мире, мы, так сказать, «судим» о нем – отсюда происходит и название этой логической формы. Дескриптивное суждение может быть истинным или ложным. Истинное суждение соответствует действительности: «Российская Федерация является федерацией». Ложное суждение не соответствует действительности: «Российская Федерация является монархией». Логика не определяет истинность или ложность суждений – это дело конкретных наук или практики. Задача логики состоит в обеспечении формальных условий и методов сохранения истины на протяжении всего процесса рассуждения.

Первое из таких условий состоит в дифференциации простых и сложных суждений.

Рассмотрим все многообразие простых суждений, которые можно классифицировать по следующим основаниям:

1. По объему субъекта: единичные, общие и частные.

3. По количеству связки: отрицательные, утвердительные и отрицающие.

4. По модальности: объектные (суждения действительности, суждения возможности, суждения необходимости) и логические (суждения достоверные и суждения проблематичные).

Рассмотрим более подробно суждения по характеру признаков, которые представлены предикатом суждения.

Атрибутивным называется такое простое суждение, предикат которого представляет свойство. Можно еще и так определить атрибутивное суждение: «Атрибутивным суждением называется такой вид простых суждений, в которых речь идет о наличии у предмета каких-то свойств, или их отсутствие у предмета» (Например: Преступление должно быть раскрытым).

Суждением с отношением называется такой вид простого суждения, в котором предикатом выступает отношение (Например: Мой приятель не знает моего брата. В суждении идет отрицание отношения знания между моим приятелем и моим братом).

Суждением существования называется вид простого суждения, в котором предикат выражает наличие (бытие) предмета (Например: Есть люди, которые могут прогнозировать будущее. Не существует жизни на Луне).

Остановимся на анализе атрибутивных суждений. Интерес к атрибутивным суждениям в традиционной логике был вызван тем, что они выступили исходным материалом в построении Аристотелем первой теории логического вывода – силлогистики. В значительной мере это предопределило и то, что простые суждения (суждения с отношениями и суждения существования) после соответствующих синтаксических реконструкций толковались как атрибутивные.

Атрибутивные суждения делятся на виды по количеству и качеству.

По качеству выделяют: утвердительные и отрицательные атрибутивные суждения (Например: Преступление является общественно опасным поступком – утвердительное суждение).

По количеству различают: единичные, общие и частные атрибутивные суждения.

Единичным называется такое атрибутивное суждение, в котором субъектом выступает единичное понятие. (Например: Следователь Петров хороший человек).

Общим называется такое атрибутивное суждение, в котором субъектом выступает общее понятие (Например: Преступление общественно опасное деяние).

Частным называется атрибутивное суждение, в котором субъект представляет часть класса исследуемых предметов (Например: Некоторые приговоры несправедливы).

Эти две типологии атрибутивных суждений выделяются в методических целях. В практике рассуждения они существуют во взаимодействии, поэтому специально выделяют типологию атрибутивных суждений по объединенному признаку качественно-количественной характеристики:

· общеутвердительные,

· частноутвердительные,

· общеотрицательные,

· частноотрицательные атрибутивные суждения.

	+	-
Все	Аsp	Esp
Некоторые	Isp	Osp

Общеутвердительным называется суждение, которое по количеству является общим, а по качеству утвердительным (Например: Все курсанты хорошо учатся. Логическая структура общеутвердительного суждения такая: «Все S есть Р». Обозначается этот вид суждений буквой «А»).

Частноутвердительным суждением называется такое атрибутивное суждение, которое по количеству является частичным, а по качеству – утвердительным (Например: Некоторые преступления являются должностными. Логическая структура частноутвердительного суждения имеет такой вид: «Некоторые S есть Р». Обозначается это суждение буквой «І»). Общеотрицательным называется атрибутивное суждение, которое по количеству является общим, а по качеству – отрицательным (Например: Ни один мой знакомый не был среди участников преступления. Логическая структура общеотрицательного суждения имеет такой вид: «Ни один S не есть Р». Обозначается это суждение буквой «Е»).

Суждение - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о связи между предметом и его признаком либо об отношениях между предметами . Основной логической характеристикой суждения является его истинностное значение - каждое суждение либо истинно, либо ложно . Суждение истинно тогда, и только тогда, когда описываемая в нем ситуация имеет место в действительности, в противном случае оно ложно.

Простым суждением называется суждение, выражающее связь двух терминов . Терминами в простом суждении называют субъект и предикат суждения. Субъектом суждения (S ) называется то, о чем говорится в суждении, т.е. предмет мысли. Предикатом суждения (Р ) называется то, что говорится о субъекте, какие признаки ему приписываются или не приписываются. Помимо субъекта и предиката в структуру суждения входят квантор и связка. Квантор суждения указывает на количество суждения, т.е. указывает на общее, частичное или единичное количество субъекта суждения (выражается словами «все», «ни один», «некоторые», «этот»). Связка обозначает отношение между субъектом (S ) и предикатом (Р ) суждения, благодаря чему мысль обретает форму суждения. Связка указывает на качество суждения. (Выражается словами «есть», «не есть», «является», «не является»).

Объединенная классификация простых категорических суждений . В зависимости от количества и качества различают общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения.

Общеутвердительным (А ) называют суждение общее по количеству и утвердительное по качеству. Каноническая форма «Все S есть Р» .

Общеотрицательным (Е ) называют суждение общее по количеству и отрицательное по качеству. Каноническая форма «Ни одно S не есть Р» .

Частноутвердительным (I ) называют суждение частное по количеству и утвердительное по качеству. Каноническая форма «Некоторые S есть Р» .

Частноотрицательным (О ) называют суждение частное по количеству и отрицательное по качеству. Каноническая форма «Некоторые S не есть Р » .

Распределенность терминов в простых категорических суждениях . В простых суждениях термины могут быть распределены (S + , Р + ), либо не распределены (S - , Р - ). Термин называется распределенным, если в суждении он взят в полном объеме. Термин называется нераспределенным, если в суждении он взят в части объема . Распределенность терминов в суждении выводится из определения отношений между понятиями, которыми выражаются термины суждения. При определении распределенности терминов в простых категорических суждениях следует руководствоваться следующими правилами:

а) В общеутвердительных суждениях (А ) : субъект (S Р ) всегда нераспределен в случае отношения подчинения между субъектом и предикатом суждения; субъект (S ) всегда распределен и предикат (Р ) всегда распределен в случае отношения эквивалентности между субъектом и предикатом суждения;

b) В общеотрицательных суждениях (Е ): субъект (S ) и предикат (Р ) суждения всегда распределены;

с) В частноутвердительных суждениях (I ) : субъект (S ) и предикат (Р ) нераспределены в случае отношения перекрещивания между субъектом и предикатом суждения; и субъект (S ) нераспределен, а предикат (Р ) распределен в случае отношения подчинения между предикатом и субъектом суждения;

d) В частноотрицательные суждениях (О ) : субъект суждения (S ) всегда нераспределен, а предикат суждения (Р ) всегда распределен.

Сложным суждением называется суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логическими связками. Запись сложного суждения на символическом языке логики, в котором простые суждения заменены на символы р, q, r, s, t …, а логические союзы на замещающие их символы Ù, v, → , ↔ называется логической формой сложного суждения. Можно выделить пять основных видов логической связи:

Утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций -конъюнкция (Ù );

Утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций - слабая дизъюнкция (v);

Утверждение наличия только одной из нескольких ситуаций - сильная дизъюнкция ();

Одна ситуация является достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→);

Одна ситуация является достаточным и необходимым условием для возникновения другой ситуации - эквиваленция (↔).

В зависимости от вида логической связи различают следующие сложные суждения:

- соединительные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой конъюнкция (Ù ). Логическая форма: (р Ù q );

- разделительные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой слабая дизъюнкция (v ) или сильная дизъюнкция (). Логическая форма: (р v q ); (рq );

- условные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой импликация (→ ) или эквиваленция (↔ ). Логическая форма: (р → q ), (р ↔ q ), где р - основание суждения, q - следствие суждения. В условных суждениях в правильной логической форме основание всегда стоит вначале, а заключение в конце формулы.

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи, что определяется посредством составления таблиц истинности:

- конъюнкция (Ù ) принимает значение «Истина » только в случае одновременной истинности всех переменных; в остальных случаях конъюнкция принимает значение «Ложь » (См.: Рис. 18);

- слабая (нестрогая) дизъюнкция (v) принимает значение «Ложь » только в случае одновременной ложности всех переменных; в остальных случаях слабая дизъюнкция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 19);

- сильная (строгая) дизъюнкция () принимает значение «Ложь » в случае одновременной истинности или ложности всех переменных; в остальных случаях сильная дизъюнкция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 20);

- импликация (→ ) принимает значение «Ложь » только в случае истинности основания суждения и ложности следствия суждения; в остальных случаях импликация принимает значение «Истина » (См.: Рис. 21);

- эквиваленция (↔ ) принимает значение «Ложь » в случае истинности основания и ложности следствия суждения, либо наоборот, ложности основания и истинности следствия суждения; в остальных случаях эквиваленция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 22).

отрицание суждения - это операция, состоящая в преобразовании логического содержания отрицаемого суждения, конечным результатом которой является формулирование нового суждения, находящегося в отношении противоречия к исходному суждению. Отрицание простого атрибутивного суждения производится согласно следующим эквиваленциям: А = О; Е = I; I = Е; О = А - где А, Е, I, О - виды простых категорических суждений, - знак внешнего отрицания.

Отрицание сложного суждения производится согласно следующим эквиваленциям:

(р Ù q) ↔ (р v q) – 1-й закон де Моргана

(р v q) ↔ (р Ù q) – 2-й закон де Моргана

(р q) ↔ (р ↔ q)

(р → q) ↔ (р Ù q)

(р ↔ q) ↔ (р Ù q) v (р Ù q)

Выразим сказанное выше в виде комплексных схем:

Рис. 23-24

Рис. 27.

Типовые примеры по теме «Суждение»

Задание 6 . Приведите высказывание к правильной логической форме, дайте объединенную классификацию суждений, приведите их схемы и принятые в логике обозначения А, Е, I, О.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом приведения предложений естественного языка к канонической форме категорических суждений и анализа простых суждений.

1. Определить субъект и предикат высказывания, обозначив их соответственно S и Р (составные S и Р подчеркнуть одной сплошной чертой ).

2. При определении предиката следует иметь в виду следующее:

Если предикат выражен существительным или словосочетанием с существительным , то в данном случае предикат остается без изменения .

Образец 1 :

«Некоторые юристы (S ) - адвокаты (Р ) ».

Если предикат выражен прилагательным или причастием , которое может быть представлено , то в этом случае .

Образец 2 :

«Некоторые розы (S ) красивы (Р ) ». → «Некоторые розы (S ) - красивые цветы (Р ) ».

Если предикат выражен глаголом , который может быть представлен одним словом или словосочетанием , то в таком случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания , а глагол превратить в соответствующее ему причастие .

Образец 3 :

«Некоторые студенты нашей группы (S ) сдали сегодня по логике (Р ) ». → «Некоторые студенты нашей группы (S ) есть учащиеся, сдавшие сегодня зачет по логике (Р ) ».

3. Определить кванторное слово («все», «некоторые», «ни одно», «это»).

4. Определить логическую связку («есть», «не есть»)

5. Записать суждение в канонической форме: квантор - субъект (S ) - связка - предикат (Р ) .

6. Записать формулу суждения , определить количественно-качественную характеристику суждения.

7. Графически изобразить отношения между терминами суждения.

8. Определить распределенность терминов.

Пример 1:

« Древние греки внесли большой вклад в развитие философии».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект - «древние греки» (S ). Предикат выражен словосочетанием «внесли большой вклад в развитие философии» (Р ).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Древние греки» ) родовое понятие («Люди» ). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «Люди, внесшие большой вклад в развитие философии» .

3. Кванторное слово в предложении отсутствует , но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет только о некоторой части древних греков . Квантор суждения - «Некоторые ».

4. В предложении утверждается наличие у субъекта «Древние греки » (S Внесли большой вклад в развитие философии » (Р ). Значит логическая связка утвердительная («есть »).

5. Каноническая форма суждения: «Некоторые древние греки (S ) есть люди. внесшие большой вклад в развитие философии (Р ) ».

6. Формула суждения - Некоторые S есть Р . Количественно-качественная характеристика суждения - частноутвердительное

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Древние греки » (S ) и понятием «Люди, несшие большой вклад в развитие философии » (Р ) как отношение перекрещивания .

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в части объема, значит, они являются нераспределенными (S - , Р - ) (Рис. 28).

Пример 2:

«Никто не может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление».

Решение:

1. В данном предложении субъект явно не определен . Из анализа смысла высказывания ясно, что речь идет о понятии «Человек » (S ) . Предикат выражен словосочетанием «» (Р ).

2. Приводим предикат к канонической Человек ») родовое понятие («Живое существо »). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «» (Р ).

3. Кванторное слово в предложении отсутствует , но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет обо всем объеме понятия «человек» (S ). Квантор суждения - «Ни одно ».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Человек » (S ) свойства, выраженного в предикате «Может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление » (Р ). («не есть »).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Ни один человек (S ) не есть живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление (Р ) ».

6. Записываем формулу суждения - Ни одно S не есть Р общеотрицательное (Е ).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Человек » (S ) и понятием «Живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление » (Р ) как отношение несравнимости .

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в полном объеме , значит, они являются распределенными (S + , Р + ) (Рис. 29).

Пример 3:

«Некоторые грибы не являются съедобными».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект - «Грибы» ( S ) . Предикат выражен словом «Съедобными » (Р ).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Грибы ») родовое понятие («Живые организмы »). В канонической форме предикат будет выраженсловосочетанием «Съедобные живые организмы » (Р ).

3. Кванторное слово в предложении присутствует, речь идет о части объеме понятия «Грибы » (S ). Кванторное слово суждения - «Некоторые ».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Грибы » (S ) свойства, выраженного в предикате «Съедобные » (Р ). Логическая связка отрицательная («не есть »).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Некоторые грибы (S ) не есть съедобные живые организмы (Р ) ».

6. Записываем формулу суждения - Некоторые S не есть Р . Определяем количественно-качественную характеристику суждения - частноотрицательное (О ).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение отношения между понятием «Грибы » (S ) и понятием «Съедобный живой организм » (Р ) как отношение перекрещивания .

8. Определяем распределенность терминов: S взят в части объема , а Р взят в полном объеме , значит, распределенность их такова: S - , Р + (Рис. 30).

Задание 7 . Рассмотрите сложные суждения, выразите их в символической записи. Укажите антецедент и консеквент в импликативных суждениях.

Пример 1:

Своих трудовых прав, свобод и законных интересов всеми не запрещенными способами».

Решение:

а) «Работник имеет право на защиту своих трудовых прав р );

б)«Работник имеет право на защиту своих свобод всеми не запрещенными способами» - (q );

в)«Работник имеет право на защиту своих законных интересов всеми не запрещенными способами» - (r ).

конъюнкция (Ù );

р Ù q Ù r

4. р, q, r – конъюнкты.

Пример 2:

«Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Человечество может погибнуть от истощения земных ресурсов» - (р );

б)«Человечество может погибнуть от экологической катастрофы» - (q );

в)«Человечество может погибнуть в результате третьей мировой войны» - (r ).

слабая дизъюнкция (v);

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

р vq vr

4. р, q, r – дизъюнкты.

Пример 3:

«Гражданин вследствие физического недостатка, болезни или неграмотности не может собственноручно подписаться, то по его просьбе сделку может подписать другой гражданин».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Гражданин вследствие физического недостатка не может собственноручно подписаться» - (р );

б)«Гражданин вследствие болезни не может собственноручно подписаться» - (q );

в)«Гражданин вследствие неграмотности не может собственноручно подписаться» - (r );

г)«По просьбе этого гражданина сделку может подписать другой гражданин» - (s ).

2. В данном случае имеет место утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций, но могут одновременно наличествовать и другие ситуации - слабая дизъюнкция (v); одна из этих ситуаций или все они одновременно является достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно слабая дизъюнкция и импликация;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р vq vr) → s

4. р, q, r – дизъюнкты; (р vq vr) – антецедент; s – консеквент.

Пример 4:

«Брак расторгается, если судом будет установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов и сохранение семьи стали невозможными».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а)«Судом установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов стала невозможной» - (р );

б)«Судом установлено, что сохранение семьи стало невозможным» - (q );

в)«Брак расторгается» - (r ).

2. В данном случае имеет место утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций - конъюнкция (Ù ); обе эти ситуации являются достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно конъюнкция и импликация ;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р Ùq) → r

4. р, q – конъюнкты; (р vq) – антецедент; r – консеквент.

Задание 8 . Запишите логические формулы сложных суждений на языке логики высказываний и постройте для них истинностные таблицы.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом анализа сложных высказываний:

1. Определить и записать все простые суждения, из которых состоит предложение. Обозначить их символами.

2. Определить логическую связь между простыми суждениями.

3. Записать формулу сложного суждения. Если суждение условное, то необходимо определить основание и следствие.

4. Составить и заполнить таблицу истинности сложного суждения.

Пример 1.

«Оскорбление может быть нанесено случайно или намеренно»

Решение:

а) «Оскорбление может быть нанесено случайно» - (р )

б) «Оскорбление может быть нанесено намеренно» – (q )

2. Союз «или » в высказывании утверждает наличие только одной из двух ситуаций. Логическая связь в данном суждении - сильная дизъюнкция ().

3. Формула сложного суждения: р q.

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы.

Для построения таблицы истинности необходимо знать количество столбцов при входе в таблицу (количество переменных) и количество строк в таблице (х = 2 n , где х - количество строк в таблице, n - количество переменных формуле). В данной таблице три столбца (р , q, р q) и четыре строки (2 2 = 4). В первом столбце записываем все варианты истинности для р (И и Л). Во втором столбце против каждого из значений первого столбца фиксирует значения сначала оба раза как И, а затем оба раза как Л. Под знаком логического союза сильная дизъюнкция () записываем конечный результат, ориентируясь на таблицу истинности, помещенную на стр. 3, рис. 20. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

р	q	р q
И	И	Л
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	Л

Система построения таблиц истинности для любого количества пропозициональных может быть понята из следующих соображений:

В общем случае число всех возможных наборов значений n переменных равно 2 n . Например, число допустимых интерпретаций для одной переменной равно 2 1 = 1 ; для двух переменных - 2 2 = 4 ; для трех переменных – 2 3 = 8; длячетырех переменных равно 16 , для пяти - 32 и т.д.

К примеру, пусть последовательность пропозициональных переменных р 1 , р 2 , …p n состоит только из одной переменной (n = 1). Тогда существует только два набора значений: <и > и <л >:

Пусть последовательность пропозициональных переменных р 1 , р 2 , …p n состоит из двух переменных (n = 2). В этом случае наборами указанных значений будут такие пары (всего их четыре ):

<и , и >, <л , и >, <и , л >, <л , л >.

Если же данная последовательность содержит три переменные, то наборами таких значений будут такие сочетания (восемь троек):

<и, и, и>, <л, и, и>, <и, л, и>, <л, л, и>,

<и, и, л>, <л, и, л>, <и, л, л>, <л, л, л>

В формальной логике применяются следующие пропозициональные связки: , ^, v, →, ↔, где

Символ отрицания (дополнения);

^ - символ конъюнкции (объединения);

v – символ нестрогой дизъюнкции (разделения-объединения);

– символ строгой дизъюнкции (разделения-исключения);

→ - символ импликации (логического следования).

↔ - символ эквиваленции (логического тождества).

В случае отрицания (дополнения) высказывание (А ) принимает значение «истина» только в том случае, если А ложно . И наоборот, если А истинно , то (А )- ложно .

Пример 2.

«Повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории, невозможно понять логику этой истории».

Решение:

1. Определяем и записываем простые суждения:

а) «Человек повернулся спиной к наиболее интригующим событиям истории» - р (основание)

б) «Человек не может понять логику этой истории» - q (следствие)

2. Союз «если, … то … » означает, что ситуация, выраженная основанием («человек повернулся спиной к наиболее интригующим событиям истории» ) является достаточным условием для возникновения ситуации, выраженной следствием («человек не может понять логику этой истории» ). Логическая связь в данном суждении - импликация (→ )

3. Формула суждения: р → q

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы (см. стр. 4, рис. 21).

Под знаком логического союза импликация (→ ) записываем его истинностные значения. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

р	q	р → q
И	И	И
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	И

Пример 3.

«Если студент учится на этом факультете, то он способный или очень прилежный».

Решение:

1. Определяем и записываем простые суждения:

а) «Студент учится на этом факультете» - р (основание)

б) «Этот студент способный» - q (следствие)

в) «Этот студент прилежный» - r (следствие)

2. Союз «если.., то.. » означает, что ситуация, выраженная основанием («человек учится на этом факультете») является достаточным условием для возникновения ситуации, выраженной следствием («он способный или очень прилежный»). Логическая связь в суждении - импликация (→ ). В следствии между суждениями стоит союз «или», который означает утверждение наличия хотя бы одной из двух ситуаций. Логическая связь - слабая дизъюнкция (v).

3. Формула суждения: р → (q v r )

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы. Количество столбцов во входе в таблицу равно трем (переменных в формуле - 3), а количество строк в таблице - 8. Для того чтобы определить истинностные значения данной формулы необходимо определить порядок действий. Первым действием находим истинностное значение слабой дизъюнкции (v), а затем истинностное значение импликации (→ ).

Истинностные значения импликации (→ ) являются истинностными значениями данной формулы. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

Задание 9 . Определите модальность суждения, запишите суждения с помощью модальных операторов:

Модальность (от лат. modus – мера, способ) есть явно или неявно выраженная в суждении характеристика суждения, дополни­тельная информация о логическом и фактическом статусе суждения, о регу­лятивных, оценочных, временных и других его характеристиках, о степени его обоснованности.

Первоначальную информацию в суждении выражают, как мы уже знаем, субъ­ект , предикат , кванторное слово и способ выражения этой информации – формула (S – P) .

Что касается дополнительной информации, то она может быть самой различной. Так, например, логик середины XIII в. Вильгельм Шервуд насчитывал шесть видов модальных форм: истинно , ложно , возможно , невозможно , случайно и необходимо . В современном же логическом мышлении чаще других применяются модальности, выступающие под именами алетическая , деонтическая и эпистемическая .

Понятие "алетическая" (от греч. aletheia – истина) означает "истинная". Алетическая модальность в этом смысле есть отношение к основному требованию логики – выражать критерии истинных и ложных высказываний.

Алетическая модальность есть выраженная в суждениях и терминах необходимости-случайности либо возможности-невозможности информация об особенностях логической или фактической детерминированности сужде­ний.

Утверждение необходимости существования чего-либо , как соответствие действительности , обозначается символически как  p .

Аналогично, утверждение необходимости несуществования чего-либо , как отрицательное соответствие действительности , обозначается - ÿ ùp .

Пример:

«Наличие причинной связи между действиями, совершенными данным лицом, и наступившими общественно-опасными последствиями (p ) – непременное условие привлечения его к уголовной ответственности (q )».

ÿ(p ® q ).

В противоположность "необходимости", "случайность" не связана с неизбежностью , а фиксирует лишь частные события в их произвольном возникновении и существовании.

Пример:

p ) иногда способствует возникновению сердечно-сосудистых заболе­ваний (q )».

В терминах алетической модальности данное высказывание выглядит так:

ù ÿ(p ® q ).

Что касается "возможности" чего-либо , то она всегда связана с со­вместимостью рассматриваемого явления с другими явлениями , состав­ляющими для данного явления среду его существования .

Пример:

«Загрязнение окружающей среды (p ) может способствовать возникновению сердечно-сосудистых и легочных заболеваний (q )».

В терминах алетической модальности данное высказывание выглядит так:

à(p ® q ).

В свою очередь, "невозможность" чего-либо всегда связана с не­совместимостью данного явления с другими, являющимися для него его средой .