Что такое совершенные числа в математике? Совершенные числа, компанейские числа - удивительные числа

Каратецкая Мария

В данной реферативной работе с элементами самостоятельного исследования "открывается" понятие совершенного числа,

исследуются свойства совершенных чисел,история их появления,приводятся интересные факты,связанные с понятием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя школа №19с углубленным изучением

Отдельных предметов»

Научное общество учащихся «Умники и умницы»

Реферативная работа с элементами

самостоятельного исследования

«Совершенные числа»

Выполнила:

Ученица 7класса «А»

Каратецкая Мария

Руководитель:

учитель математики

Колина Наталья Константиновна

Адрес ОУ:

606523, Нижегородская область, Городецкий

Район, г.Заволжье, ул.Молодежная, 1

МБОУ СШ №19 с УИОП

E-mail: [email protected]

2015 г.

1.Введение……………………………………………………………………………3

2.Что такое совершенное число?……...........................…………............................4

3.История появления совершенных чисел………………………………………....4

4.Свойства совершенных чисел…………………………….……………………....8

5.Интересные факты…………………………………..……………….....................8

6.Примеры задач…………………………………………………………………….9

7.Заключение…………………………………………………………………..........11

8.Список используемой литературы………………………….…………...............12

"Всё прекрасно благодаря числу» Пифагор.

1.Введение

Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". О числах первым начал рассуждать Пифагор. По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7–разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц".

Есть множества чисел, их подмножества, группы, и одна из необычных групп - это совершенные числа. В этой группе известно всего лишь 48 чисел, но не смотря на это, они образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел.

Проблема: Я люблю решать нестандартные задачки. Однажды мне попалась задача, в которой говорилось о совершенных числах, я испытала трудности при решении, поэтому заинтересовалась этой темой и решила подробнее изучить эти числа.

Цель исследования: познакомиться с понятием совершенного числа, исследовать свойства совершенных чисел, привлечь внимание учащихся к данной теме.

Задачи:

Изучить и проанализировать литературу по теме исследования.

Изучить историю появления совершенных чисел.

-«Открыть» свойства совершенных чисел и области их применения

Расширить свой умственный кругозор.

Методы исследования: изучение литературы, сравнение, наблюдение,

теоретический анализ, обобщение.

2.Что такое совершенное число?

Совершенное число - натуральное число , равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, включая 1,но отличных от самого числа,).

Первое совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.

Второе совершенное число имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.

Третье совершенное число 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.

Четвертое совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

3. История появления совершенных чисел

Древнегреческий математик и философ Пифагор , он же создатель религиозно-философской школы пифагорейцев (570-490 гг. до н. э), ввел понятия избыточные и недостаточные числа.

Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 – избыточное число, так как сумма его делителей равна 16. Если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным».

Например, 10 – недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные числа, считали они, есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. В противоположность этому сверхизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, не упорядочены и не определены.

«Совершенное число есть равное своим долям». Эти слова принадлежат Евклиду , древнегреческому математику, автору первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике «Начала»(3 век до н.э.). До Евклида были известны только два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Благодаря своей формуле 2 p-1 *(2 p -1)- совершенное число, если (2 p -1)- простое число, Так Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Способ нахождения совершенных чисел описан в IX книге «Начал».

Никомах Геразский , греческий философ и математик (1-я пол. 2 в. н. э.), в своем сочинении «Введение в арифметику» писал: «…Прекрасные и благородные вещи обычно редки и легко пересчитываемы, тогда как безобразные и плохие - многочисленны; вот и избыточные и недостаточные числа отыскиваются в большом количестве и беспорядочно, так что способ их нахождения не упорядочен, в то время как совершенные числа легко перечислимы и расположены в надлежащем порядке. Ведь среди однозначных чисел находится одно такое число 6, второе число 28 –единственное среди десятков, третье число 496 – единственное среди сотен, а четвёртое число 8128 –среди тысяч, если ограничиться десятью тысячами. И присущее им свойство состоит в том, что они попеременно оканчиваются то на шестёрку, то на восьмёрку, и все являются чётными.Изящный и надёжный способ их получения, не пропускающий ни одного совершенного числа и дающий одни только совершенные числа, состоит в следующем. Расположи все чётно-чётные числа, начиная с единицы, в один ряд, продолжая его так далеко, насколько пожелаешь: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Затем складывай их последовательно, прибавляя каждый раз по одному,

и после каждого прибавления смотри на результат; и когда он будет

первичным и несоставным, умножь его на последнее прибавленное

число, в результате чего ты всегда будешь получать совершенное число.

Если же он будет вторичным и составным,умножать не надо, но надо

прибавить следующее число и посмотреть на результат; если он снова

окажется вторичным и составным, снова пропусти его и не умножай, но

прибавь следующее; но если он будет первичным и несоставным, то

умножив его на последнее прибавленное число, ты снова получишь

совершенное число, и так до бесконечности. И таким способом ты

получишь все совершенные числа по порядку, не пропустив ни одного

из них. К примеру, к 1 я прибавляю 2 и смотрю, какое число получилось

в сумме, и нахожу, что это число 3, первичное и несоставное в согласии

с тем, что говорилось выше, поскольку оно не имеет разноимённых

с ним долей, но только названную по нему долю; теперь я умножаю

его на последнее прибавленное число, которое есть 2, и получаю 6; и я

объявляю его первым настоящим совершенным числом, имеющим

такие доли, что они, будучи составленными вместе, укладываются в

самом числе: ведь единица является его названной по нему, о есть

шестой, долей, и 3 является половиной в соответствии с числом 2,и

обратно, двойка является третью. Число 28 получается этим же способом, когда следующее число 4 прибавляется к уже сложенным

выше. Ведь три числа 1, 2, 4 в сумме дают число 7, которое оказывается

первичным и несоставным, поскольку оно имеет только названную по

нему седьмую долю; а потому я умножаю его на последнее количество,

прибавленное к сумме, и мой результат составляет 28, равное своим

долям, и имеющее доли, названные по уже упомянутым числам:

половинную для четырнадцати, четвёртую для семёрки, седьмую для

4, четырнадцатую в противоположность половине, двадцать восьмую

в соответствии с собственным названием, а такая доля для всех чисел равна единице. И когда уже открыты в единицах 6 и в десятках 28, ты

8, и получишь 15; рассматривая его, я выясняю, что оно не является

первичным и несоставным, потому что в дополнение к названной по нему

доле оно имеет разноимённые с ним доли, пятую и третью; поэтому я не

умножаю его на 8, но прибавляю следующее число 16 и получаю число

31. Оно является первичным и несоставным, а потому его нужно, в

соответствии с общим правилом, умножить на последнее добавленное число 16, в результате чего получится 496 в сотнях; а затем получится 8128 в тысячах; и так далее, насколько будет желание продолжать…»

Следует сказать, что под вторичным числом Никомах понимает число, кратное данному, то есть то, которое можно получить, домножением на натуральные числа; долями он называет множители, входящие в разложение числа.

Если Никомах Геразский нашел лишь 4 первых совершенных числа,то Региомонтан(подлинное имя - Йоганн Мюллер), немецкий математик, живший в 15 веке,нашел пятое совершенное число - 33550336.

В XVI веке немецкий ученый Иоганн Эфраим Шейбель нашел ещё два совершенных числа- 8589869056 (8 миллиардов, 589 миллионов, 869 тысяч, 56), 137438691328 (137 миллиардов, 438 миллионов, 691 тысяча, 328).

Катальди Пьетро Антонио (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел. 8 589 869 056 (шестое число), 137 438 691 328 (седьмое число) для р=17 и 19)

Французский математик XVII века Марен Мерсенн предсказал, что многие числа, описываемые формулой , где p - простое число, также являются простыми. Ему удалось доказать, что для p=17, p=19, p=31 числа 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 являются совершенными.

Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук, Леонард Эйлер (начало 18в.) доказал, что все чётные совершенные числа соответствуют алгоритму построения чётных совершенных чисел, который описан в IX книге Начал Евклида. Также он доказал, что каждое чётное совершенное число имеет вид Mp, где число Мерсенна Mp является простым.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин . Первушин считал без всяких вычислительных приборов.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127).

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимаются проекты распределённых вычислений GIMPS и OddPerfect.org.

4. Свойства совершенных чисел

1.Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел.

2.Все чётные совершенные числа являются треугольными числами ; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.

3.Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2,то есть

4.Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

5.Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p -1 нулей (следствие из их общего представления).

6. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

5. Интересные факты

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. В XII веке церковь утверждала, что для спасения души необходимо найти пятое совершенное число.Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий, дескать, несовершенен, ибо произошел от несовершенного числа 8. Ведь именно 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Можно добавить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. Да и вообще легко обнаружить множество подобных совпадений. Например, руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг…

Египетская мера длины "локоть" содержала 28 пальцев.

На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость.

В 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Позже узнали, что это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов.

Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов. Несмотря на то, что совершенным числам приписывается мистический смысл,числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Лев Николаевич Толстой шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н.Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

6. Примеры задач

1.Найдите все совершенные числа до 1000.

Ответ: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248=496). Всего чисел-3.

2.Найдите совершенное число которое больше 496, но меньше 33550336.

Ответ: 8128.

3.Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Решение: метод от противного. Предположим, что совершенное число, делящееся на 3,не кратно 9. Тогда оно равно 3n, где n не кратно 3. При этом все натуральные делители числа 3n (включая его самого) можно

разбить на пары d и 3d, где d не делится на 3. Следовательно, сумма всех

делителей числа 3n (она равна 6n) делится на 4. Отсюда n кратно 2. Далее

заметим, что числа 3n /2 , n, n/2 и 1 будут различными делителями числа 3n,

их сумма равна 3n + 1 > 3n, откуда следует, что число 3n не может быть

совершенным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно,и утверждение доказано.

4. Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

7.Заключение

Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром. Всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Пифагорейцы искали в этих отношениях и закономерности реального мира, и пути к мистическим тайнам и откровениям. Числам, учили они, свойственно всё – совершенство и несовершенство, конечность и бесконечность.

Рассмотрев одну из групп натуральных чисел - совершенные числа, я сделала вывод, что разнообразие натуральных чисел является бесконечным. Что касается утверждения о том, что среди совершенных чисел встречаются как чётные, так и нечетные числа,то оно не может считаться верным, так как все обнаруженные до сих пор совершенные числа являются чётными. Никто не знает, существует ли хоть одно нечётное совершенное число как и то, что множество совершенных чисел бесконечно.

В дальнейшем я хочу исследовать дружественные числа.

Дружественные числа - два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Примером такой пары чисел является пара 220 и 284 .Частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

8.Список использованной литературы

1. Волина В. В. Занимательная математика для детей./Ред. В. В. Фёдоров; Худ. Т. Фёдорова. – С.-Пб.: Лев и К°, 1996. – 320 с.
2. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 1. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
3. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 2. А – Л/Глав. ред. Е. Хлебалина, вед. ред. Д. Володихин. – М.: Аванта+, 2003. – 528с.
4. Электронная детская энциклопедия Кирилл и Мефодий (версия 2007 год).
5. Электронный сайт WikipediA/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm

Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.

«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).

Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.

Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число, равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:

666=22+32+52+72+112+132+172,

666=1+2+3++34+35+36.

Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.

Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.

Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью. Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.

Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.

После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.

Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.

И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.

Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:

67=1+2+64 и т. д.

Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:

1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.

Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.

Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.

а к- при которых ак-1/а-1 просты

В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.

Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.

Р=17,8589869156 (шестое число)

Р=19,137438691328 (седьмое число)

Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).

Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:

2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.

В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.

Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:

618970019642690137449562111*288, р=89.

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162259276829213363391578010288127*2106, р=107.

Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).

Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).

В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).

Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:

22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)

22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).

Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.

Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).

Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.

Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.

Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:

1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.

2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.

3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.

4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля «Сикстинская Мадонна». Какое отношение он имеет к совершенным числам.

5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.

6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.

7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного.

Актуальность исследовательского проекта по выбранной теме: современная наука и техника раскрыли величие человеческого разума. Они изменили мир и представления о нем. Но до сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы. Совершенные числа не изучены в полной мере. Это одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

Идея (проблема). Данная тема мною была выбрана не случайно. Мне интересно узнавать что-новое, необычное. Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах. Но когда, изучая энциклопедию по математике, увидел тему «наибольший общий делитель», мне показалось, что это очень неинтересно -считать все время по одному и тому же алгоритму. Своими сомнениями поделился с учителем. И она ответила, что делители - это одно из самых загадочных понятий в математике. Просто необходимо узнать по этой теме побольше. Я решил последовать ее совету и очень скоро убедился, что это действительно так. Как интересен мир совершенных чисел. Так родилась моя исследовательская работа.

Цели моего проекта заключается в следующем:

познакомиться с понятием совершенного числа;

исследовать свойства совершенных чисел;

привлечь внимание учащихся к данном теме.

Задачи проекта:

изучить и проанализировать литературу по теме исследования;

«открыть» свойства совершенных чисел и область их применения;

расширить свой умственный кругозор.

Гипотеза: выяснить роль совершенных чисел в математике.

Вид проекта: исследовательский, моно предметный, индивидуальный. Объект изучения: совершенные числа и их свойства.

Сроки проведения исследования: две недели.

Методика исследования:

сбор и изучение литературы и материалов;

опрос-обращение к определенной группе людей, путем письменного анкетирования и устного интервьюирования;

продукт исследования - мультимедийная презентация по теме.

Что такое совершенные числа

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое благодарнаучное определение лишь числа дал считалось Эвклид в своих "Началах": "Единица первое есть то, первое в соответствии, с чем технико каждая из существующих например вещей называется школьников одной. Число сбор есть множество, многим сложенное из единиц".

Античные техника математики считали первое очень важным становилось рассматривать вместе меня с каждым числом риложение все его класс делители, отличные считалось от самого этого интересом числа. Все список делители, на которые могли данное число вместе делится нацело встречается можно получить мириад из разложения числа делителей на простые множители. Такие мириад делители называют собственными. Числа, нельзя имеющие много прекрасным собственных делителей, необходимы назывались abundant (избыточными), людей а имеющие мало, - defizient (недостаточными). При простое этом в качестве книги меры использовалось века не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей

1 + 2 + 5 = 8 < 10,

так что делителей «недостаток». Для 12 же

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,

т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 - «недостаточное», а 12 - «избыточное» число.

Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6

То же для 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся счет на пальцах (приложение 1), при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 - первое совершенное число.

Поиск вайте совершенных чисел.

Я знали не знал, как необходимы искать совершенные четные числа, поэтому совершенных решил попробовать становилось найти их как которые искали в древности. Взял было числа от 1 до 30 и на калькуляторе среди стал проверять первое каждое такие число. Посмотрите, что мириады у меня получилось. (приложение 2). Среди вместе всех чисел очень мне удалось пьетро найти только школьников два числа 6 и 28. Очень трудоемкий технико поиск как приложение оказалось.

История открытия совершенных чисел.

4.1 Четные совершенные числа.

Никомах Герасский (I-II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик (приложение 2), писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Сколько же их? Никомах четвертое этого не знал. Первым понятие прекрасным совершенным литературу числом, о котором делителей знали математики рождения Древней Греции, литературу было число 6. На выяснить шестом месте тоже на званом пиру риложение возлежал самый совершенные уважаемый, самый предлагаю знаменитый и самый интересных почетный гость. Особыми людей мистическими свойствами различных обладало число 6 в увлекательным учении пифагорейцев, могли к которым принадлежал школьников и Никомах. Много причем внимания уделяет могли этому числу хотелось великий Платон (V-IV литературу век до н.э.) в последнего своих «Диалогах» (приложение 3). Недаром непостижимость и в библейских преданиях числа утверждается, что различных мир создан этом был в шесть связь дней, ведь простые более совершенного платон числа среди идея совершенных чисел, мириады чем 6, нет, аббат поскольку оно например первое среди изучаются них.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах (приложение 5).

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:

6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

До Евклида (приложение 3) были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей

2 p-1 и 2 p - 1,

где 2 p - 1 - простое число, является совершенным числом, -

эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида

2 p-1 · (2 p - 1)

подставить p = 2, то получим

2 2-1 · (2 2 - 1) = 21 · (22 - 1) = 2 · 3 = 6

Первое совершенное число, а если p = 3, то

2 3-1 · (23 - 1) = 22 · (23 - 1) = 4 · 7 = 28

Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:

2 5-1 · (25 - 1) = 24 · (25 - 1) = 16 · 31 = 496

2 7-1 · (27 - 1) = 26 · (27 - 1) = 64 · 127 = 8 128.

Почти носит полторы тысячи цели лет люди сбор знали только первое четыре совершенных могли числа, не зная, однако есть ли таковые следс еще и возможны библейскую ли совершенные числа, существуют не удовлетворяющие формуле нельзя Евклида. Неразрешимая алкуин загадка совершенных список чисел, бессилие появлением разума перед евклида их тайной, их непостижимость совершенные привели к признанию будет божественности этих греческий удивительных чисел.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735-804), один из виднейших деятелей просвещения (приложение 2), организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 - число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен - он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436-1476) (приложение 4) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно

ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье (приложение 4), тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел:

8 589 869 056 - шестое число 137 438 691 328 - седьмое число.

Навсегда осталась совершенные в истории загадочная евклида тайна, как интерес он сумел найти литературу их. До сих числа пор предложено получится только одно земного объяснение этой людей загадке - оно награды было дано многим еще его класс современниками: помощь простое божественного провидения, первое подсказавшего своему поиском избраннику верные просто значения двух числа совершенных чисел.

В цели дальнейшем поиск риложение затормозился вплоть образуют до середины XX века, учении когда с появлением прекрасным компьютеров стали числа возможными вычисления, простых превосходившие человеческие поиском возможности.

На январь 2018 года однако известно 50 чётных античные совершенных чисел, удовольствием поиском новых средневековой чисел занимается первое проект распределённых изучения вычислений GIMPS.

4.2 Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.Распределённые вычисления — способ решения трудоёмких вычислительных задач с использованием нескольких компьютеров, чаще всего объединённых в параллельную вычислительную систему.

Свойства совершенных чисел.

Все чётные совершенные числа, кроме6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел

1 3 + 3 3 + 5 3 + … {displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+ldots } 28 = 1 3 + 3 3 ;

496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 ;

8 128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .

Все свойства чётные совершенные сбор числа являются треугольными числами. Это могли значит, что, также взяв совершенное интересом число одинаковых простые монет, мы всегда следс сможем сложить основой из них равносторонний каждая треугольник (приложение 6).

Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами (приложение 5) и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n:

6 = 2 · 3, n = 2;

28 = 4 · 7, n = 4;

496 = 16 · 31, n = 16;

8 128 = 64 · 127, n = 64.

Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала единиц, за которыми следует p − 1 {displaystyle p-1} нулей, следствие из их общего представления.

Если сложить все цифры чётного совершенного числа, кроме 6, затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1

2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1+0=1

Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Интересные факты о совершенных числах.

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, были именно трудность множества нахождения таких чащиеся чисел послужила четвертое поводом к наделению выяснить их мистическими свойствами. Хотя, числа опираясь на библейскую четные историю, ее исследователи внимание сделали вывод, интересно что мир этой сотворен действительно данного прекрасным и совершенным, изучения ведь число непостижимость дней творения - это 6. А первое вот человек преданиях неидеален, так также как сотворен цели и живет в дне древнем седьмом. Однако совершенное его задача - это интересно стремиться к совершенству.

Давайте познакомимся с интересными фактами (приложение 7):

8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным;

руки человека - это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами;

луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней;

при начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей. В сумме получится 28. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28;

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Анкетирование.

Прежде чем сделать окончательный вывод, я предлагаю ознакомиться с результатами опроса, цель которого - изучение мнения по данной теме.

Опрос проводился среди следующих категорий:

учащиеся 5 класса (25 человек);

учителя (8 человек);

родители школьников (17 человек).

Всего приняло участие 50 человек.

Опрос велся по следующим вопросам:

Знаете ли вы что такое совершенные числа?

Нужно ли изучать математику?

Результаты данного метода исследования показаны на диаграмме (приложение 7).

А еще я вместе со старшеклассниками провел небольшой блиц-опрос. Мы заходили в каждый класс и просили поднять руки кто любит математику. Ребята с интересом отнеслись к нашей просьбе. Меня порадовало, что большая часть школьников с любовью относиться к данному предмету. Всем было весело и интересно. Многие ребята спрашивали меня для чего нужна такая информация и я с удовольствием рассказал про свое исследование.

В современном мире многим занятия древних математиков кажутся ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать.

Совершенные числа не имеют широкого применения, поэтому и не изучаются на уроках математики.

Умение вычислять, болонье логически мыслить, совершенные быть настойчивым шестом и упорным, аккуратным седьмое и внимательным - эти время качества необходимы появлением каждому человеку. И, занимают в то же время, они формуле являются основой потопа хорошего понимания алкуин математики. Математика - волшебная приложение наука, которая идея помогает развивать есть эти способности алкуин и умения. Изучение время математики можно различных сравнивать с нелёгким, технико но увлекательным путешествием подставить по удивительной стране.

Заключение.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Анализируя научно-популярную литературу о совершенных числах, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа открыт до сих пор.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, узнать что-то новое, неизведанное.

Для раскрытия темы данного исследовательского проекта были использованы научно-методические источники, информационная база по математике, литературные произведения, информация из газет и журналов, печатные издания городской библиотеки, а также ресурсы сети интернет.

Список использованной литературы.

1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 164 с.

2. Википедия, информация по запросу «совершенные числа».

3. Гейзер Г.И., История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

4. Депман, И. Я Совершенные числа // Квант. - 1991. - № 5. - С. 13-17.

5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1989. — 287 с.

6. Карпеченко Е. Тайны чисел. Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

7. Крылов А.Н., Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 - 1994

8. В работе использованы картинки и фотографии по запросу "Поиск картинки" в Internet.

Приложение 1. Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.

Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли.

Приложение 2. Таблица поиска совершенных чисел с помощью калькулятора.

Приложение 3. Великие математики

Никомах Герасский Платон

(I-II век н.э.) (V-IV век до н.э.)

Евклид аббат Алкуин

(365-300 до н. э.) (ок.735-804)

Приложение 4. Великие математики

Региомонтан Пьетро Антонио Катальди

(1436-1476) (1548-1626)

Приложение 5. Здание Академии наук

Фёдор Бронников. Гимн пифагорейцев солнцу

Приложение 6. Треугольник из 28 монет.

Приложение 7. Интересные факты о совершенных числах

Ноев ковчег

Руки человека

Луна совершает оборот вокруг Земли

Л. Н. Толстой

Приложение 8. Результаты исследования

Наука и Жизнь 1981 №10

Каждый из нас чем-либо да увлекается. Одни коллекционируют марки, камни, спичечные коробки; другие столярничают или разводят цветы, третьи ломают голову над шахматными этюдами. А автор этих строк забавляется числами, преимущественно натуральными. Увлечению этому без малого полвека, а оно не слабеет, по-прежнему доставляет радость, приводит к неожиданным находкам. Получат ли эти находки практическое применение? Такие случаи у меня бывали. Будут ли дальше? Не знаю. Бенджамин Франклин на этот вопрос отвечает так: «А какое применение у новорожденного?» В самом деле, какое? Это покажет время. А пока расскажем об одной такой забаве, оканчивающейся довольно любопытно. И начнем издалека.

Возьмём любое многозначное натуральное число, вычислим сумму его цифр, потом вновь сложим цифры полученной суммы и будем повторять это до тех пор, пока не придем к однозначному числу. Его-то и назовём конечной суммой цифр заданного числа, а для краткости обозначим КСЦ.

Например, КСЦ числа 27816365 равна 2, так как 2+7+8+1+6+3+6+5=38, далее 3+8=11, наконец, 1+1=2.

Всякое натуральное число при делении на 9 даст в остатке КСЦ делимого. Если же число делится на 9 нацело, то, естественно, остаток равен нулю.

Пусть задано натуральное число:

10 n *a+10 n-1 *b+10 n-2 *c+...+10p+r.

Представим его в таком виде:

(10-1) n *а+(10-1) n-1 *b+(10-1) n-2 *c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+p+r.

Ясно, что слагаемые, содержащие множители вида (10-1) k , кратны девяти. Следующую за ними сумму цифр заданного числа (a+b+c...+p+r) также представим в виде:

(10-1) m *a 1 +(10-1) m-1 *b 1 +(10-1) m-2 *c 1 +...(10-1)*p 1 +a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1 (1)

Новая сумма цифр (a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1) уже меньше предыдущей. Продолжая этот процесс, мы непременно придём к остатку, который окажется числом однозначным, иначе говоря,- к КСЦ заданного числа.

Рассмотрим то же на вышепривдённом примере:

27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.

Поэтому для вычисления КСЦ не обязательно складывать все цифры. Достаточно отбросить в числе все девятки: 2+7; 8+1; 6+3, а в оставшихся цифрах 6 и 5 остается отбросить 6+3. В результате получим КСЦ = 2.

Из этого следует, что разность между заданным числом (А) и его КСЦ всегда кратна девяти. Принято говорить, что А сравнимо с его КСЦ по модулю 9, а записывается это так:

А = КСЦ (mod 9), (1)

(здесь три чёрточки - знак сравнения).

Расположим теперь все натуральные числа в таблицу 1 так, чтобы в каждой строке их КСЦ была постоянна и равна крайнему левому числу строки.

Таблица 1

Если обозначить числа первого столбца через a i (i=1..9) то любое число в i-й строке (А i) запишется так:

A i = a i (mod 9). (2)

Сравнения можно складывать (а следовательно, и перемножать и возводить в степень) как обычные равенства:

A 1 = a 1 (mod 9)
+
A 2 = a 2 (mod 9)

A 1 +A 2 = (a 1 +a 2) (mod 9) (3)

Докажем это. Из (3) следует, что

(A 1 -a 1)/9=B 1 , и (A 2 -a 2)/9=B 2

где B 1 и В 2 - числа натуральные. Значит, и сумма их также число натуральное. Отсюда и вытекает результат в равенстве (3).

Доказательства для произведения и степени вы легко найдете сами.

А вот примеры:

21 = 3 (mod 9)
+
32 = 5 (mod 9)
=
53 = 8 (mod 9),

21*32 = 15 (mod 9),
иначе
21*32 = 6 (mod 9).

Следовательно, для того, чтобы выяснить, в какой строке таблицы 1 помещается сумма (произведение, степень) натуральных чисел, достаточно сложить (перемножить, возвести в степень) их КСЦ.

Составим ещё таблицу (2) степеней, начиная с квадратов первых девяти натуральных чисел, а в скобках запишем их КСЦ.

Из таблицы 2 видно, что КСЦ в любой строке повторяется через каждые 6 степеней. Поэтому достаточно рассмотреть степени со второй по седьмую.

Таблица 2

Много любопытного обнаруживается при сопоставлении первой и второй таблиц. Например: не существует степеней (кроме первой), для которых КСЦ равнялась бы трём или шести. КСЦ для шестых степеней равно только единице или девятке, а для третьих степеней - ещё и восьмерке. Для вторых и четвертых степеней КСЦ имеют одни и те же значения - 1, 4, 7, 9,- но четвёрки и семёрки у них поменялись местами.

Или вот ещё: КСЦ=2 встречается только дважды - у 5 5 и у 2 7 , а КСЦ=5 - также в двух случаях,- у 2 5 и 5 7 . Основания степеней в обоих случаях одинаковы, а показатели их поменялись местами.

Много чего можно отыскать в этих таблицах. Однако все это присказка, сказка впереди.

Немало времени прошло, пока не обнаружилось новое и, на мой взгляд, замечательное свойство таблицы 1. Оказалось, что все чётные совершенные числа (исключая шестёрки) располагаются только в ее первой строке. (Напомню: совершенными называются числа, равные сумме всех своих младших делителей). Иначе говоря, все (кроме первого) чётные совершенные числа (S) сравнимы с единицей по модулю 9:

Совершенные числа, о которых идет речь (а других мы не знаем), вычисляются по формуле Евклида:

S=2 p-1 (2 p -1) (5)

где и p, и (2 p -1) должны быть числами простыми. (Простыми называются числа, делящиеся только на себя и на единицу.)

Итак, перейдём к доказательству. Понятно, что число p, как всякое простое (кроме двойки), нечётно. Из таблицы 2 видно, что нечётный показатель степени у двойки может быть либо 3, либо 5, либо 7. При этом КСЦ этих степеней соответственно равны 8, 5 и 2. В таком случае КСЦ у (2 p -1) равны 7, 4 и 1. Что касается показателя степени у первого множителя в (5), то есть p-1, то он равен либо 2, либо 4, либо 6, а КСЦ этих степеней 2 p -1 равны соответственно 4, 7 и 1.

Остается перемножить КСЦ обоих сомножителей уравнения (5): 7*4; 4*7; 1*1, что даёт 28, 28 и 1. КСЦ всех этих трёх произведений равна 1. Что и требовалось доказать!

Так как мы не ставили никаких ограничений ни для множителя (2 p -1), ни для показателя p (кроме того, что он должен быть нечётным), то не только совершенные, но и все числа с нечётным p, вычисленные по формуле (5), расположены только в первой строке таблицы 1.

Не правда ли, любопытное свойство формулы Евклида?

Насколько мне известно, число приверженцев рубрики «Математические досуги», ведущейся в журнале вот уже почти 20 лет, не уменьшается, и среди них много таких читателей, кого интересуют забавы с числами. Тем же, кто ещё к этому не приобщился, советуем: играйте с числами! Не пожалеете!

Собственный делитель натурального числа - это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным . Так, 6 = 3 + 2 + 1 - это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 - это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n . Например, σ (3) = 1 + 3 = 4, а σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна , то есть σ (ab ) = σ (a )σ (b ); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ (N ) = 2N . Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n –1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число - это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N - какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ (N ) = 2N . Представим N в виде N = 2 k ·m , где m - нечетное число. Поэтому σ (N ) = σ (2 k ·m ) = σ (2 k )σ (m ) = (1 + 2 + ... + 2 k )σ (m ) = (2 k +1 – 1)σ (m ).

Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ (m ). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m , а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M . Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ (m ). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ (pq ) = σ (p )σ (q ), где p и q - различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ (p ) = 1 + p , σ (q ) = 1 + q , а σ (pq ) = 1 + p + q + pq = (1 + p )(1 + q ).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2 n – 1, то число N = 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ (N ) = 2N (так как сигма-функция - это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ (N ) = σ (2 n –1 (2 n – 1)) = σ (2 n –1)σ (2 n – 1) = (1 + 2 + ... + 2 n –1)·((2 n – 1) + 1) = (2 n – 1)·2 n = 2N . Здесь было использовано, что раз 2 n – 1 - простое число, то σ (2 n – 1) = (2 n – 1) + 1 = 2 n .

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2 n –1 (2 n – 1). Это 1; степени двойки 2, 2 2 , ..., 2 n –1 ; простое число p = 2 n – 1; а также делители вида 2 m ·p , где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий . Первая начинается с 1, а вторая - с числа p ; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2 n – 1)/2 – 1 = 2 n – 1 (и это равно p ). Вторая прогрессия дает p ·(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p ·(2 n –1 – 1). Итого, получается p + p ·(2 n –1 – 1) = 2 n –1 ·p - то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, .

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 - простое число Мерсенна , то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km - составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение - «если n - простое, то 2 n – 1 также простое» - не верно: 2 11 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель - доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ (m ) следует, что m делится на M . Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ (m ). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m . Значит, M = 1, а m - простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n , что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число - 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа - 6 и 28 - были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа - 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы , оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», - говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 - самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число - 33 550 336 - было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2 n –1 (2 n – 1), причем 2 n – 1 должно быть простым. Восьмое число - 2 305 843 008 139 952 128 - нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2 n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10 300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 10 80 . При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет - одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org .

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным . В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века - и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними - и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 10 7 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 10 8 и 10 9 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 2 43112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка-Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

• Каждое четное совершенное число является также треугольным числом , то есть представимо в виде 1 + 2 + ... + k = k (k + 1)/2 для некоторого k .
• Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 1 3 + 3 3 , а 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 .
• В двоичной системе счисления совершенное число 2 n –1 (2 n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом - n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 6 10 = 110 2 , 28 10 = 11100 2 , 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .
• Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.