Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные...
Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)
Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.
Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида
\[{{a}^{x}} \gt b\]
Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:
\[\begin{align} & {{2}^{x}} \gt 4;\quad {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}};\quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01;\quad {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}. \\\end{align}\]
Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $f\left(x \right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)
Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:
\[{{9}^{x}}+8 \gt {{3}^{x+2}}\]
Или даже вот:
В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} \gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.
Решение простейших показательных неравенств
Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:
\[{{2}^{x}} \gt 4\]
Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:
\[{{2}^{x}} \gt {{2}^{2}}\]
И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x \gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:
\[{{2}^{1}}=2;\quad {{2}^{2}}=4;\quad {{2}^{3}}=8;\quad {{2}^{4}}=16;...\]
Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:
\[{{\left(\frac{1}{2} \right)}^{1}}=\frac{1}{2};\quad {{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4};\quad {{\left(\frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8};...\]
Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:
- Если основание степени $a \gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
- И наоборот, если $0 \lt a \lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.
Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:
Если $a \gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \gt n$. Если $0 \lt a \lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \lt n$.
Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.
Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $a\le 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} \gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.
С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:
\[{{\left(-2 \right)}^{x}} \gt 4\]
На первый взгляд, всё просто:
Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:
\[\begin{align} & x=4\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{4}}=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{5}}=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{6}}=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{7}}=-128 \lt 4. \\\end{align}\]
Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{\left(-2 \right)}^{\sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!
Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1\ne a \gt 0$. И тогда всё решается очень просто:
\[{{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end{align} \right.\]
В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.
Примеры решения
Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:
\[\begin{align} & {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01; \\ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}. \\\end{align}\]
Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!
\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\]
Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!
Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:
\[\begin{align} & \frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \\ & \sqrt[k]{a}={{a}^{\frac{1}{k}}}. \\\end{align}\]
Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.
Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:
\[\frac{1}{\sqrt{2}}={{\left(\sqrt{2} \right)}^{-1}}={{\left({{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-1}}={{2}^{\frac{1}{3}\cdot \left(-1 \right)}}={{2}^{-\frac{1}{3}}}\]
Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:
\[\begin{align} & {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \\ & \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \\ & {{\left({{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. \\\end{align}\]
Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:
\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{2}^{x-1}}\le {{2}^{-\frac{1}{3}}}\]
Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:
\[\begin{align} & x-1\le -\frac{1}{3}\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}; \\ & x\in \left(-\infty ;\frac{2}{3} \right]. \\\end{align}\]
Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.
Рассмотрим второе неравенство:
\[{{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\]
Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:
\[\begin{align} & 0,1=\frac{1}{10};\quad 0,01=\frac{1}{100}={{\left(\frac{1}{10} \right)}^{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\Rightarrow {{\left(\frac{1}{10} \right)}^{1-x}} \lt {{\left(\frac{1}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]
Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:
\[\begin{align} & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end{align}\]
Получили окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x \lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!
Важное замечание . Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:
\[\frac{1}{10}={{10}^{-1}}\Rightarrow {{\left({{10}^{-1}} \right)}^{1-x}} \lt {{\left({{10}^{-1}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{10}^{-1\cdot \left(1-x \right)}} \lt {{10}^{-1\cdot 2}}\]
После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:
\[\begin{align} & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end{align}\]
Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)
\[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16\]
Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2 4 . Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:
\[\begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt {{2}^{4}}; \\ & {{x}^{2}}-7x+14 \lt 4; \\ & {{x}^{2}}-7x+10 \lt 0. \\\end{align}\]
Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.
Нули функции на числовой прямой
Расставляем знаки функции $f\left(x \right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.
Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:
\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\]
Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:
\[\begin{align} & 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\Rightarrow \\ & \Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)}}\end{align}\]
В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:
\[\frac{1}{25}={{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{2}}={{5}^{-1\cdot 2}}={{5}^{-2}}\]
Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:
\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{-1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)}}\ge {{5}^{-2}}\]
Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:
\[\begin{align} & -1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)\ge -2; \\ & -1-{{x}^{2}}\ge -2; \\ & -{{x}^{2}}\ge -2+1; \\ & -{{x}^{2}}\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}\le 1. \\\end{align}\]
Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:
\[\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\]
Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:
$\begin{align} & {{x}^{2}}-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & {{x}_{1}}=1;\quad {{x}_{2}}=-1; \\\end{align}$
Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:
Обратите внимание: точки закрашены
Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $x\in \left[ -1;1 \right]$ — не интервал, а именно отрезок.
В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:
- Найти основание, к которому будем приводить все степени;
- Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
- Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a \lt 1$.
По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)
Метод рационализации
Рассмотрим ещё одну партию неравенств:
\[\begin{align} & {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \\ & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1; \\ & {{\left(\frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left(\frac{1}{9} \right)}^{16-x}}; \\ & {{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1. \\\end{align}\]
Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?
А как возвести в степень число $2\sqrt{3}-3$? Или $3-2\sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)
На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2\sqrt{3}-3$ и $3-2\sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.
Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:
Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \right) \gt 0$.
Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:
\[\begin{matrix} {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\\end{matrix}\]
Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем \[\left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right)\]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:
\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 3-1=2\]
В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:
\[\begin{align} & \left(x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end{align}\]
Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:
Решаем неравенство методом интервалов
Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $x\in \left(-1;5 \right)$. Вот и всё решение.:)
Перейдём к следующей задаче:
\[{{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1\]
Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:
\[\begin{align} & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1={{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\ & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\\end{align}\]
Что ж, выполняем рационализацию:
\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt{3}-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt{3}-4 \right) \lt 0; \\ & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 0. \\\end{align}\]
Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2\left(\sqrt{3}-2 \right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:
\[\begin{matrix} \sqrt{3} \lt \sqrt{4}=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 2\cdot \left(2-2 \right)=0 \\\end{matrix}\]
Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:
\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 0; \\ & {{x}^{2}}-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end{align}\]
Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Случай, когда нас интересуют боковые интервалыНас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:
Переходим к следующему примеру:
\[{{\left(\frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left(\frac{1}{9} \right)}^{16-x}}\]
Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:
\[\begin{matrix} \frac{1}{3}={{3}^{-1}};\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \\ \Downarrow \\ {{\left({{3}^{-1}} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left({{3}^{-2}} \right)}^{16-x}} \\\end{matrix}\]
\[\begin{align} & {{3}^{-1\cdot \left({{x}^{2}}+2x \right)}} \gt {{3}^{-2\cdot \left(16-x \right)}}; \\ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} \gt {{3}^{-32+2x}}; \\ & \left(-{{x}^{2}}-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end{align}\]
Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $x\in \left(-8;4 \right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:
\[{{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1\]
Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:
\[{{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt {{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{0}}\]
Применяем рационализацию:
\[\begin{align} & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt{2}-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt{2} \right) \lt 0; \\ & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt{2} \right) \lt 0. \\\end{align}\]
Однако совершенно очевидно, что $1-\sqrt{2} \lt 0$, поскольку $\sqrt{2}\approx 1,4... \gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:
\[\begin{matrix} \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt{2} \right) \lt 0 \\ \Downarrow \\\end{matrix}\]
\[\begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 \gt 0; \\ & 3x-{{x}^{2}} \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end{align}\]
Переход к другому основанию
Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.
Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:
\[\begin{align} & {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}; \\ & {{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & {{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(6,25 \right)}^{x}}\ge 1; \\ & {{\left(\frac{27}{\sqrt{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81. \\\end{align}\]
Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:
\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}\]
Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:
Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:
\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{2}^{\frac{8}{x}}}\Rightarrow \left(\frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.
\[\begin{align} & \left(\frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \lt 0. \\\end{align}\]
Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=\pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:
Более сложный случай: три корня
Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:
Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.
Переходим к следующей задаче:
\[{{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\]
Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $\frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:
\[\begin{align} & {{\left({{3}^{-1}} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\Rightarrow {{3}^{-\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & \left(-\frac{3}{x}-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac{3}{x}-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac{3}{x}+2+x\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\le 0. \\\end{align}\]
Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.
Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[{{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(6,25 \right)}^{x}}\ge 1\]
А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:
\[\begin{align} & 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}\Rightarrow {{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}; \\ & 6,25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\Rightarrow {{\left(6,25 \right)}^{x}}={{\left(\frac{25}{4} \right)}^{x}}. \\\end{align}\]
Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:
\[\frac{25}{4}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left(\frac{25}{4} \right)}^{x}}={{\left({{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-1}} \right)}^{x}}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-x}}\]
Таким образом исходное неравенство можно переписать так:
\[\begin{align} & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-x}}\ge 1; \\ & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x+\left(-x \right)}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}; \\ & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}. \\\end{align}\]
Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:
\[{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}\Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac{4}{25}-1 \right)\ge 0\]
Заметим, что $\frac{4}{25}-1=\frac{4-25}{25} \lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:
\[\begin{align} & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end{align}\]
Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:
\[{{\left(\frac{27}{\sqrt{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81\]
В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:
\[\begin{align} & \frac{27}{\sqrt{3}}=\frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}={{3}^{3-\frac{1}{3}}}={{3}^{\frac{8}{3}}}; \\ & 9={{3}^{2}};\quad 81={{3}^{4}}. \\\end{align}\]
С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:
\[\begin{align} & {{\left({{3}^{\frac{8}{3}}} \right)}^{-x}} \lt {{\left({{3}^{2}} \right)}^{4-2x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x+4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{4-4x}}. \\\end{align}\]
Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} \lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя ! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.
Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:
\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]
Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Выделение устойчивого выражения и замена переменной
В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.
Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:
\[\begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6; \\ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90; \\ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500; \\ & {{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768. \\\end{align}\]
Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:
\[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]
Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}\cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:
Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:
\[\begin{align} & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end{align}\]
Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$), а заодно вспоминаем, что 1=5 0 . Имеем:
\[\begin{align} & {{5}^{x+1}}\ge {{5}^{0}}; \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end{align}\]
Вот и всё решение! Ответ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходим ко второму неравенству:
\[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90\]
Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}\cdot {{3}^{2}}=9\cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:
\[\begin{align} & {{3}^{x}}+9\cdot {{3}^{x}}\ge 90;\quad \left| {{3}^{x}}=t \right. \\ & t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge {{3}^{2}}; \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end{align}\]
Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.
Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:
\[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500\]
В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5 2 , поэтому первое слагаемое можно преобразовать:
\[\begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{\left({{5}^{2}} \right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \\ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}\cdot 5. \\\end{align}\]
Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:
\[\begin{align} & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625={{5}^{4}}; \\ & {{5}^{2x+2}}\ge {{5}^{4}}; \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end{align}\]
И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:
\[{{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768\]
Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:
\[\begin{align} & 0,5=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Rightarrow {{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}={{\left({{2}^{-1}} \right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \\ & 16={{2}^{4}}\Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{\left({{2}^{4}} \right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \\ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} \gt 768. \\\end{align}\]
Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}\cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:
\[\begin{align} & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256={{2}^{8}}; \\ & {{2}^{4x+6}} \gt {{2}^{8}}; \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac{1}{2}=0,5. \\\end{align}\]
Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2 8 ? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:
\[\begin{align} & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & ={{2}^{8}}.\end{align}\]
То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:
\[\begin{align} & {{5}^{2}}=25; \\ & {{5}^{3}}=125; \\ & {{5}^{4}}=625; \\ & {{5}^{5}}=3125. \\\end{align}\]
Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.
Слайд 2
1). Определение 2). Виды 3). Свойства числовых неравенств 4). Основные свойства неравенств 4). Типы 5). Способы решения
Слайд 3
Запись вида а>в или а
Слайд 4
Неравенства вида а≥в, а≤в называется …… Неравенства вида а>в, а
Слайд 5
1). Если а>в, то вв, в>с, то а>с. 3). Если а>в, с-любое число, то а+с>в+с. 4). Если а>в, с>х, то а+с>в+х. 5). Если а>в, с>0, то ас>вс. 6). Если а>в, с о, с>0,то > . 8). Если а>о, с>0, а>с, то >
Слайд 6
1). Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется.
Слайд 7
2).Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Если это число отрицательное, то знак неравенства изменится напротивоположное.
Слайд 8
ЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Слайд 9
I).Линейное неравенство. 1). х+4
Слайд 10
1.Решить неравенства.
1). х+2≥2,5х-1; 2).х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1)>3; 3). 4).х²+х
Слайд 11
2.Найдите наименьшие целые числа, являющиеся решениями неравенств
1.2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1)>0; 2.0,2(2х+2)-0,5(х-1)
Слайд 12
II).Квадратные неравенства. Способы решения: Графический С применением систем неравенств Метод интервалов
Слайд 13
1.1).Метод интервалов (для решения квадратного уравнения) ах²+вх+с>0 1). Разложим данный многочлен на множители, т.е. представим в виде а(х-)(х-)>0. 2).корни многочлена нанести на числовую ось; 3). Определить знаки функции в каждом из промежутков; 4). Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Слайд 14
x²+x-6=0; (х-2)(х+3)=0; Ответ: (-∞;-3)v(2;+∞). х + 2 -3 +
Слайд 15
1.Решение неравенства методом интервалов.
1). х(х+7)≥0; 2).(х-1)(х+2)≤0; 3).х-х²+2 0; 5).х(х+2)
Слайд 16
Домашняя работа: Сборник 1).стр. 109 № 128-131 Сборник 2).стр.111 №3.8-3.10; 3.22;3.37-3.4
Слайд 17
1.2).Решение квадратных неравенств графически
1). Определить направление ветвей параболы, по знаку первого коэффициента квадратичной функции. 2).Найти корни соответствующего квадратного уравнения; 3).Построить эскиз графика и по нему определить промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Слайд 18
Пример:
х²+5х-6≤0 y= х²+5х-6 (квадратичная функция, график парабола, а=1, ветви направлены вверх) х²+5х-6=0; корни этого уравнения: 1 и -6. у + + -6 1 x Ответ: [-6;1]. -
Слайд 19
Решите графически неравенства:
1).х²-3х 0; 3).х²+2х≥0; 4). -2х²+х+1≤0; (0;3) (-∞;0)U(4;+∞) (-∞;-2]UU {0} {0} .
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .
Пример 2
Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .
Решение
Из условия видим, что коэффициент a при z равняется - 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.
Производим деление обеих частей уравнения на число - 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .
Ответ: z < 0 или (− ∞ , 0) .
Пример 3
Решить неравенство - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .
Решение
По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется - 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь - 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести - 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на - 5 , изменить знак неравенства:
5 · x ≤ 15 22 ; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Ответ: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .
Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :
Определение 5
Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.
Пример 4
Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .
Решение
Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.
Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .
Пример 5
Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .
Решение
При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.
Пример 6
Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .
Решение
При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.
Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.
Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.
Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.
Определение 6
Метод интервалов – это:
- введение функции y = a · x + b ;
- поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
- определение знаков для понятия их на промежутках.
Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:
- нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
- построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
- определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
- решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.
Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.
Пример 6
Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .
Решение
Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .
Ответ : (− ∞ , 4) или x < 4 .
Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.
Видно, что
Определение 7
- решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
- решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.
Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.
Определение 8Построение графика функции y = a · x + b производится:
- во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
- во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.
Пример 7
Решить неравенство - 5 · x - 3 > 0 при помощи графика.
Решение
Необходимо построить график линейной функции - 5 · x - 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х - 5 · x - 3 > 0 получим значение - 3 5 . Изобразим графически.
Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что
Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч - ∞ , - 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки - 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.
Ответ : - ∞ , - 3 5 или x < - 3 5 .
Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.
Пример 8
Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Решение
Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.
Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .
Неравенства, сводящиеся к линейным
Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.
Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .
Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.
При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:
7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0
Это приводит решение к линейному неравенству.
Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:
Определение 9
- раскрыть скобки;
- слева собрать переменные, а справа числа;
- привести подобные слагаемые;
- разделить обе части на коэффициент при x .
Пример 9
Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .
Решение
Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.
Ответ : нет решений.
Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.
Свойства, которые потребуются для нахождения ответа
Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.
- Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
- Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
- Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
- Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.
Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.
Использование метода интервалов
Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.
- Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
- Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
- Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
- На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
- Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
- Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
- Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.
Немного о двойных неравенствах
Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.
Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.
Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?
В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».
Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:
- |х| < a на -a < х < a;
- |х| > a на х < -a или х > a.
Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».
Как осуществляется решение системы неравенств?
Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.
План, по которому выполняется решение системы неравенств:
- решить каждое из них отдельно;
- изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
- записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.
Как быть с дробными неравенствами?
Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.
Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:
- Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
- Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
- Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
- Определить интервалы знакопостоянства.
- В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.
Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность
Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.
Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.
| Исходное неравенство | условие | равносильная система |
| √ n(х) < m(х) | m(х) меньше или равно 0 | решений нет |
| m(х) больше 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) < (m(х)) 2 |
|
| √ n(х) > m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) > (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
| √n(х) ≤ m(х) | m(х) меньше 0 | решений нет |
| m(х) больше или равно 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) ≤ (m(х)) 2 |
|
| √n(х) ≥ m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) ≥ (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
| √ n(х) < √ m(х) | n(х) больше или равно 0 n(х) меньше m(х) |
|
| √n(х) * m(х) < 0 | n(х) больше 0 m(х) меньше 0 |
|
| √n(х) * m(х) > 0 | n(х) больше 0 m(х) больше 0 |
|
| √n(х) * m(х) ≤ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
||
| √n(х) * m(х) ≥ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
Примеры решения разных видов неравенств
Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.
Первый пример. 2х - 4 > 1 + х
Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.
Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х - 4 - (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х - 5 > 0.
Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.
Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.
На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.
Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).
Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х - 2 ≤ 4х + 2.
Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.
Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. После преобразования: -х - 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.
Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.
Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».
На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.
Из трех интервалов решением неравенства является только один.
Ответ: х принадлежит [-4; -2].
Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.
Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.
На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».
Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.
Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.
С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.
На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.
После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.
На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.
Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.
На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.
Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).
