Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры решений. Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом лагранжа

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и
- некоторые числа, а функция
задана на некотором интервале
.

Если
на интервале
, то уравнение (1) примет вид

, (2)

и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным .

Рассмотрим комплексную функцию

, (3)

где
и
- действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть
, и мнимая часть
решения
в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:

Если есть решение уравнения (2), то и функция
, гдеС – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то и функция
также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то их линейная комбинация
также будет решением уравнения (2), гдеи
– произвольные постоянные.

Функции
и
называютсялинейно зависимыми на интервале
, если существуют такие числаи
, не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство

Если равенство (4) имеет место только тогда, когда
и
, то функции
и
называютсялинейно независимыми на интервале
.

Пример 1 . Функции
и
линейно зависимы, так как
на всей числовой прямой. В этом примере
.

Пример 2 . Функции
и
линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство
возможно лишь в случае, когда и
, и
.

Построение общего решения линейного однородного

уравнения

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и. Линейная комбинация этих решений
, гдеи
– произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения.

Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде

, (5)

где – некоторое число. Тогда
,
. Подставим эти выражения в уравнение (2):

или
.

Так как
, то
. Таким образом, функция
будет решением уравнения (2), еслибудет удовлетворять уравнению

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть иесть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни ихарактеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как равенство
может выполняться лишь тогда, когда и
, и
. Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид

,

где и
- произвольные постоянные.

Пример 3
.

Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет
. Решив это квадратное уравнение, найдём его корни
и
. Функции
и
являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид
.

Комплексным числом называется выражение вида
, гдеи- действительные числа, а
называется мнимой единицей. Если
, то число
называется чисто мнимым. Если же
, то число
отождествляется с действительным числом.

Число называется действительной частью комплексного числа, а- мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными:
,
.

Пример 4 . Решить квадратное уравнение
.

Решение . Дискриминант уравнения
. Тогда. Аналогично,
. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.
,
, где
. Решения уравнения (2) можно записать в виде
,
или
,
. По формулам Эйлера

,
.

Тогда ,. Как известно, если комплексная функция является решением линейного однородного уравнения, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции
и
. Так как равенство

может выполняться только в том случае, если
и
, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

где и
- произвольные постоянные.

Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Уравнение
является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни
,
. Функции
и
являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид.

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е.
. Тогда решениями уравнения (2) являются функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как выражениеможет быть тождественно равным нулю только тогда, когда
и
. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид
.

Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Характеристическое уравнение
имеет равные корни
. В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции
и
. Общее решение имеет вид
.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и специальной правой частью

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и любого частного решения
неоднородного уравнения:
.

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части
уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степениm , т.е.

Коэффициенты
определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же
является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение
имеет корни
и
. Общее решение однородного уравнения имеет вид
.

Так как
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции
. Найдём производные этой функции
,
и подставим их в данное уравнение:

или . Приравняем коэффициенты прии свободные члены:
Решив данную систему, получим
,
. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
, а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

Если
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде. Если же
есть корень характеристического уравнения кратностиk (k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид
. Его корни
,
. В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде
.

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
. Найдём производные первого и второго порядков:,

Подставим в дифференциальное уравнение:
+ +,
+,.

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:

Отсюда
,
. Тогда частное решение данного уравнения имеет вид
, а общее решение

.

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть
и
являются линейно независимыми решениями уравнения (2). Тогда общим решением этого уравнения является
, гдеи
- произвольные постоянные. Суть метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (1) ищется в виде

где
и
- новые неизвестные функции, которые необходимо найти. Так как неизвестных функций две, то для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Эти два уравнения составляют систему

которая является линейной алгебраической системой уравнений относительно
и
. Решая данную систему, найдём
и
. Интегрируя обе части полученных равенств, найдём

и
.

Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).

Пример 9 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение. Характеристическим уравнением для однородного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению, является
. Корни его комплексные
,
. Так как
и
, то
,
, а общее решение однородного уравнения имеет вид. Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде, где
и
- неизвестные функции.

Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид

Решив эту систему, найдём
,
. Тогда

,
. Подставим полученные выражения в формулу общего решения:

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.

Вопросы для самоконтроля знаний

Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое – неоднородным?

Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?

Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?

Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В чём суть метода Лагранжа?

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y "" + p (x )y " + q (x )y = f (x ) ,

где y - функция, которую требуется найти, а p (x ) , q (x ) и f (x ) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b ) .

Если правая часть уравнения равна нулю (f (x ) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением . Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f (x ) ≠ 0 ), то уравнение называется .

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y "" :

y "" = −p (x )y " − q (x )y + f (x ) .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши .

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y "" + p (x )y " + q (x )y = 0 .

Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x ) + y 2 (x ) - также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x ) , где C - произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x ) и y 2 (x ) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема . Функция C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x ) и y 2 (x ) линейно независимы.

Определение . Функции y 1 (x ) и y 2 (x ) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y 1 (x )/y 2 (x ) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W (x ) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения - линейно независимые . Если определитель Вронского равен нулю, то решения - линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y "" + py " + qy = 0 ,

где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k ² + pq + q = 0 ,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением .

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения - действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравения - вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение
, гдеилинейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
, зависит от корней характеристического уравнения
.

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение:
.

Решив его, найдем корни
,
действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

2)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни

действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

3)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни
комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Где
. (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
, где
– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части
:

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1.
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где

, а– число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

.

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения
не равен нулю (
), то частное решение ищем в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства
,
, находим
,
. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение.

2. Пусть правая часть имеет вид
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где
– многочлен той же степени, что и
, а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

характеристического уравнения

, где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим. Откуда
, то есть
или
.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение
.

3. Пусть правая часть имеет вид , где
и– данные числа. Тогда частное решение
можно искать в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с
. Если в выражение функции
входит хотя бы одна из функций
или
, то в
надо всегда вводитьобе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция
, то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
. Тогда частное решение ищем в виде

Где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды, получими. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при
и
в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему
. Решая ее, находим
,
.

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.