Разыгрывание дискретной случайной величины. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины. Задание на курсовую работу

Определение 24.1. Случайными числами называют возможные значения r непрерывной случайной величины R , распределенной равномерно в интервале (0; 1).

1. Разыгрывание дискретной случайной величины.

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х , то есть получить последовательность ее возможных значений, зная закон распределения Х :

Х х 1 х 2 … х п

р р 1 р 2 … р п .

Рассмотрим равномерно распределенную в (0, 1) случайную величину R и разобьем интервал (0, 1) точками с координатами р 1, р 1 + р 2 , …, р 1 + р 2 +… +р п -1 на п частичных интервалов , длины которых равны вероятностям с теми же индексами.

Теорема 24.1. Если каждому случайному числу , которое попало в интервал , ставить в соответствие возможное значение , то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:

Х х 1 х 2 … х п

р р 1 р 2 … р п .

Доказательство.

Возможные значения полученной случайной величины совпадают с множеством х 1 , х 2 ,… х п , так как число интервалов равно п , а при попадании r j в интервал случайная величина может принимать только одно из значений х 1 , х 2 ,… х п .

Так как R распределена равномерно, то вероятность ее попадания в каждый интервал равна его длине, откуда следует, что каждому значению соответствует вероятность p i . Таким образом, разыгрыываемая случайная величина имеет заданный закон распределения.

Пример. Разыграть 10 значений дискретной случайной величины Х , закон распределения которой имеет вид: Х 2 3 6 8

р 0,1 0,3 0,5 0,1

Решение. Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы: D 1 - (0; 0,1), D 2 – (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Выпишем из таблицы случайных чисел 10 чисел: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Первое и седьмое числа лежат на интервале D 1 , следовательно, в этих случаях разыгрываемая случайная величина приняла значение х 1 = 2; третье, четвертое, восьмое и десятое числа попали в интервал D 2 , что соответствует х 2 = 3; второе, пятое, шестое и девятое числа оказались в интервале D 3 – при этом Х = х 3 = 6; на последний интервал не попало ни одного числа. Итак, разыгранные возможные значения Х таковы: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Разыгрывание противоположных событий.

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р . Рассмотрим дискретную случайную величину Х , принимающую значения 1 (в случае, если событие А произошло) с вероятностью р и 0 (если А не произошло) с вероятностью q = 1 – p . Затем разыграем эту случайную величину так, как было предложено в предыдущем пункте.

Пример. Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,3.

Решение. Для случайной величины Х с законом распределения Х 1 0

р 0,3 0,7

получим интервалы D 1 – (0; 0,3) и D 2 – (0,3; 1). Используем ту же выборку случайных чисел, что и в предыдущем примере, для которой в интервал D 1 попадают числа №№1,3 и 7, а остальные – в интервал D 2 . Следовательно, можно считать, что событие А произошло в первом, третьем и седьмом испытаниях, а в остальных – не произошло.

3. Разыгрывание полной группы событий.

Если события А 1 , А 2 , …, А п , вероятности которых равны р 1 , р 2 ,… р п , образуют полную группу, то для из разыгрывания (то есть моделирования последовательности их появлений в серии испытаний) можно разыграть дискретную случайную величину Х с законом распределения Х 1 2 … п, сделав это так же, как в пункте 1. При этом считаем, что

р р 1 р 2 … р п

если Х принимает значение х i = i , то в данном испытании произошло событие А i .

4. Разыгрывание непрерывной случайной величины.

а) Метод обратных функций.

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х , то есть получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1, 2, …, n ), зная функцию распределения F (x ).

Теорема 24.2. Если r i – случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (x ), соответствующее r i , является корнем уравнения

F (x i ) = r i . (24.1)

Доказательство.

Так как F (x ) монотонно возрастает в интервале от 0 до 1, то найдется (причем единственное) значение аргумента x i , при котором функция распределения примет значение r i . Значит, уравнение (24.1) имеет единственное решение: х i = F -1 (r i ), где F -1 - функция, обратная к F . Докажем, что корень уравнения (24.1) является возможным значением рассматриваемой случайной величины Х. Предположим вначале, что x i – возможное значение некоторой случайной величины x, и докажем, что вероятность попадания x в интервал (с, d ) равна F (d ) – F (c ). Действительно, в силу монотонности F (x ) и того, что F (x i ) = r i . Тогда

Следовательно, Значит, вероятность попадания x в интервал (c, d ) равна приращению функции распределения F (x ) на этом интервале, следовательно, x = Х .

Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х , распределенной равномерно в интервале (5; 8).

F (x ) = , то есть требуется решить уравнение Выберем 3 случайных числа: 0,23; 0,09 и 0,56 и подставим их в это уравнение. Получим соответствующие возможные значения Х :

б) Метод суперпозиции.

Если функция распределения разыгрываемой случайной величины может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:

то , так как при х ®¥ F (x ) ® 1.

Введем вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z 1 2 . Выберем 2 независимых случайных числа r 1 и r 2 и разыграем возможное

p C 1 C 2

значение Z по числу r 1 (см. пункт 1). Если Z = 1, то ищем искомое возможное значение Х из уравнения , а если Z = 2, то решаем уравнение .

Можно доказать, что при этом функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения.

в) Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины.

Так как для R , равномерно распределенной в (0, 1), , то для суммы п независимых, равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных величин . Тогда в силу центральной предельной теоремы нормированная случайная величина при п ® ¥ будет иметь распределение, близкое к нормальному, с параметрами а = 0 и s =1. В частности, достаточно хорошее приближение получается при п = 12:

Итак, чтобы разыграть возможное значение нормированной нормальной случайной величины х , надо сложить 12 независимых случайных чисел и из суммы вычесть 6.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ММ- 03

РАЗЫГРЫВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СВ

Цель работы: изучение и программная реализация методов разыгрывания дискретных и непрерывных СВ

ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПО КОНСПЕКТУ ЛЕКЦИЙ:

1. Дискретные случайные величины и их характеристики.

2. Разыгрывание полной группы случайных событий.

3. Разыгрывание непрерывной случайной величины методом обратной функции.

4. Выбор случайного направления в пространстве.

5. Стандартное нормальное распределение и его пересчет для заданных параметров.

6. Метод полярных координат для разыгрывания нормального распределения.

ЗАДАЧА 1. Сформулировать (письменно) правило разыгрывания значений дискретной СВ, закон распределения которой задан в виде таблицы. Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания значений СВ с использованием БСВ, получаемых от подпрограммы ГСЧ. Разыграть 50 значений СВ и вывести их на экран.

Где N – номер варианта.

ЗАДАЧА 2. Дана функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины X.

В отчете записать формулы и вычисление следующих величин:

А) константу нормировки;

Б) функцию распределения F(x);

В) математическое ожидание M(X);

Г) дисперсию D(X);

Д) формулу для разыгрывания значений СВ по методу обратной функции.

Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания заданной СВ и получить 1000 значений этой СВ.

Построить гистограмму распределения полученных чисел по 20 отрезкам.

ЗАДАЧА 3. Составить процедуру, позволяющую разыграть параметры случайного направления в пространстве. Разыграть 100 случайных направлений в пространстве.

Использовать встроенный датчик псевдослучайных чисел.

Письменный отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) Название и цель работы, группу, фамилию и номер варианта студента;

2) По каждой задаче: -условие, -необходимые формулы и математические преобразования, -имя программного файла, реализующего используемый алгоритм, -результаты вычислений.

Отлаженные программные файлы сдаются вместе с письменным отчетом.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты плотности распределения непрерывной СВ