Как искать обратную функцию. Обратная функция. Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n

Цели урока:

Образовательная:

формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

Определение отсутствующих,

Настрой учащихся на работу, организация внимания;

Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1 >

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Какая функция называется обратимой?
Любая ли функция обратима?
Какая функция называется обратной данной?
Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х 1 ≠х 2 - две точки множества Х .
Для определенности пусть х 1 < х 2 .
Тогда из того, что х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(х 2) .
Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1 (y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x) .

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

Убедиться, что функция монотонна.
Выразить переменную х через у.
Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски.

Чтобы получить график функции y=f -1 (x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$

Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.

Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

Нахождение обратной функции

Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.

Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.

Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Функция - это зависимость одной переменной от другой. Функции можно задавать способом таблицы, словесным способом, графический, формулой.

Функции подразделяются на следующие виды:

Линейная функция
Квадратичная функция
Кубическая функция
Тригонометрическая функция
Степенная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция

Область определения функции D(у) - это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции y = f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

Множество значений фнкции Е(у) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

Обратная функция - функция y=g(x), которая получается из данной функции y = f(x), если из отношения x = f(у) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y = f(x) найти обратную, надо:

В соотношении y = f(x) заменить x на y, а y - на x: x = f(у) .
В полученном выражении x=f(у) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) - взаимно обратны. Рассмотрим это на примере

Примеры нахождения обратных функций:

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f - областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции - ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества .

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х . 2) Область определения .

Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g , и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g . 3) Монотонность .

Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики .

Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х .

Преобразования графиков функций - это линейные преобразования функции y = f (x ) или её аргумента x к виду y = af (kx + b ) + m , а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x) , где

можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Вопросы к конспектам

Y = 0,5x - 4

Найдите область определения функции:

Определить четность и нечетность функции:

Решите дробно-рациональное уравнение:

Найдите обратную функцию данной функции:

Найдите значение выражения 6f(-1) +3f(5), если

2.Теория обратных функций

Обратные тригонометрические функции

Определение обратной функции

Определение. Если функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У (иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции), то говорят, что функция f(x) имеет обратную функцию или что функция f (x ) обратима.

Определение. Обратная функция - это правило, которое каждому числу у є У сопоставляет число х є X , причем y=f(x). Область определения обратной

функции есть множество У, область значений - X.

Теорема о корне. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b - единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на промежутке I есть еще число с≠ Ь, такое что f(c)=a. Тогда или сb. Но функция f возрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b). Это противоречит равенству f(c)= f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Теорема об обратной функции. Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастает. Обратимость функции f - очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).

Пусть х 1 и х 2 - произвольные значения из E(f), такие, что х 2 > х 1 и пусть y 1 = g (х 1), у 2 = g(х 2 ). По определению обратной функции х 1 = f(y 1) и х 2 = f(y 2).

Воспользовавшись тем условием, что f - возрастающая функция, находим, что допущение y 1≥ y 2 приводит к выводу f(y 1) > f(y 2), то есть х 1 > х 2 . Это

противоречит предположению х 2 > х 1 Поэтому, y 1 > y 2 , то есть из условия х 2 > х 1 следует, что g(x 2)> g(х 1). Что и требовалось доказать.

Исходная функция и обратная ей являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций

Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Доказательство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции g в произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b.

Для того, чтобы изобразить график g в привычной системе координат, надо отразить график f относительно прямой у=х.

Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), x X.

1 .Убедиться в том, что функция y=f(x) обратима на X.

2.Из уравнения y=f(x) х выразить через у, учитывая при этом, что х є X.

З.В полученном равенстве поменять местами х и у.

2.2.Определение, свойства и графики обратных тригонометрических

функций

Арксинус

Функция синус возрастает на отрезке
и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что
, в промежутке существует единственный корень уравнения sin x = a. Это число и называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Определение. Арксинусом числа а, где , называется такое число из отрезка, синус которого равен а.

Свойства.

D(у) = [ -1;1 ]

Е(у) = [-π/2;π/2]

у (-х) = arcsin(-х) = - arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

arcsin х = 0 при х = 0.

arcsin х > 0 при х є (0;1]

arcsin х < 0 при х є [-1;0)

у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 < arcsin х 2 – функция возрастающая.

Арккосинус

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcos а.

Определение . Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Свойства.

Е(у) =
у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.
arccos х = 0 при х = 1
arccos х > 0 при х є [-1;1)

arccos х < 0 – нет решений

у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – убывающая.

Арктангенс

Функция тангенс возрастает на отрезке -
, следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а - любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

Определение. Арктангенсом числа a R называется такое число х , тангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (-π/2;π/2)

у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

arctg х = 0 при х = 0

Функция возрастает при любом х є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=> arctg х 1 < arctg х 2

Арккотангенс

Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а.

Определение. Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (0;π)

у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.

arcctg х = 0 – не существует.

Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=> arcctg х 1 > arcctg х 2

Функция непрерывна при любом х є R.

2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1 . Упростить выражение:

а) где

Решение. Положим
. Тогда
и
Чтобы найти
, воспользуемся соотношением
Получаем
Но . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом,
, то есть где
.

б)

Решение.

Решение. Положим
. Тогда
и
Найдем сначала , для чего воспользуемся формулой
, откуда
Так как и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то
.

Допустим, что у нас есть некая функция y = f (x) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g (y) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f (x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g (y) тогда, когда y = f (x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y = f (x) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos (x) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .

Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y = log 2 x .

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f (x) и x = g (y) , являющихся взаимно обратными.

Определение 1

Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f (g (y)) и x = g (f (x)) .
Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f (x) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g (y) , и наоборот.
Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
Если y = f (x) является возрастающей, то и x = g (y) будет возрастать, а если y = f (x) убывает, то убывает и x = g (y) .

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y . Согласно первому свойству, y = f (g (y)) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .

А вот равенство x = f (g (x)) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):