Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами. Классификационная матрица Методические указания для обучающихся

Хотя обычно исследователи обращаются к классификации как к средству предсказания принадлежности к классу «неизвестных» объектов, мы можем использовать ее также для проверки точности процедур классификации. Для этого возьмем «известные» объекты (которыми мы пользовались при выводе классифицирующих функций) и применим к ним правила классификации. Доля правильно классифицированных объектов говорит о точности процедуры и косвенно подтверждает степень разделения классов. Можно составить таблицу, или «классификационную матрицу», описывающую результаты. Это поможет нам увидеть, какие ошибки совершаются чаще.

Таблица 12. Классификационная матрица

Таблица 12 представляет собой классификационную матрицу для данных о голосовании в сенате. Шесть переменных Бардес правильно предсказывают распределение по фракциям всех сенаторов (кроме Кейпхарта), чья фракционная принадлежность «известна». Точность предсказания в этом случае - 94,7% (сумма правильных предсказаний - 18, поделенная на общее число «известных» объектов). Мы также видим, что ошибки в этом примере связаны с плохим разделением групп 1 и 4. В нижней строке табл. 12 дано распределение по группам «неизвестных» объектов. Это те сенаторы, чью фракционную принадлежность Бардес не смогла определить по имеющимся у нее данным. Ее главной целью было использовать дискриминантный анализ для классификации позиций этих сенаторов по результатам их голосования, после чего она продолжила исследование отношения сената к различным вариантам помощи иностранным государствам.

Процент «известных» объектов, которые были классифицированы правильно является дополнительной мерой различий между группами. Им мы воспользуемся наряду с общей Л-статистикой Уилкса и каноническими корреляциями для указания количества дискриминантной информации, содержащейся в переменных. Как непосредственная мера точности предсказания это процентное содержание является наиболее подходящей мерой дискриминантной информации. Однако о величине процентного содержания можно судить лишь относительно ожидаемого процента правильных классификаций, когда распределение по классам производилось случайным образом. Если есть два класса, то при случайной классификации можно ожидать 50% правильных предсказаний. Для четырех классов ожидаемая точность составит только 25%. Если для двух классов процедура классификации дает 60% правильных предсказаний, то ее эффективность довольна мала, но для четырех классов такой же результат говорит о значительной эффективности, потому что случайная классификация дала бы лишь 25% правильных предсказаний. Это приводит нас к -статистике ошибок, которая будет стандартизованной мерой эффективности для любого количества классов:

где - число правильно классифицированных объектов, а - априорная вероятность принадлежности к классу.

Выражение представляет собой число объектов, которые будут правильно предсказаны при случайной классификации их по классам пропорционально априорным вероятностям. Если все классы считаются равноправными, то априорные вероятности полагаются равными единице, деленной на число классов. Максимальное значение -статистики равно 1 и оно достигается в случае безошибочного предсказания. Нулевое значение указывает на неэффективность процедуры, -статистика может принимать и отрицательные значения, что свидетельствует о плохом различении или вырожденном случае. Поскольку должно быть целым числом, числитель может стать отрицательным чисто случайно, когда нет различий между классами.

Билет 17:

Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Вопрос 2: Теорема Коши:

Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

Геометрический смысл : Данные теоремы состоят в том, что внутри есть точка t 0 , угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:

Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию

Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и :

Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .

Вычислим теперь производную функции :

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

Замечание: Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .)

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь - это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка такая, что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это - то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши - зависимостью, заданной в параметрической форме.

Билет 18:

Вопрос 1: Понятие матрицы. Классификация матриц:

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =

Классификация матриц:.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение . Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение . Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица

Определение . Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей .

Вопрос 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл: Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений и - это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной () будет равен углу наклона хорды (). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки и - это график линейной функции . Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то

Доказательство теоремы Лагранжа. Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию , то есть

Заметим, что и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билетыШпаргалка >> Философия

Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билеты... живописи, скульптуры и архитектуры, работы по математике , биологии, геологии, анатомии посвящены человеку... самодисциплинироваться, ориентировать себя на высшие цели. Основные мысли древневосточной...

Определение 1. Матрицей, размерности pq называют прямоугольную таблицу чисел, содержащую p строк и q столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называют элементами матрицы.

В формулах (3.1) участвуют матрицы, размерности k n и n k .

Правила записи матриц:

1). Матрицы обозначают большими латинскими буквами. Нижний индекс у буквы – размерность матрицы. Этот индекс можно опустить, если размерность матрицы известна.

2). Символ « T » , как и ранее (см.стр.), означает транспонирование , то есть замену строк столбцами.

3). Сама таблица чисел записывается в круглых скобках.

4). Если матрица не транспонирована, то первый индекс ее элемента, означает номер строки, второй - номер столбца.

Матрицы очень широко используются в математике, информатике, экономике и пр. Правила оперирования матрицами – один из вопросов линейной алгебры. Именно из линейной алгебры понятие матрицы пришло в другие области знаний.

Классификация матриц по размерности .

Квадратные матрицы играют особую роль в линейной алгебре. Рассмотрим их более детально. Прежде всего, отметим, что в случае квадратной матрицы говорят не о размерности матрицы
, а о порядке матрицы, равном n .

У квадратной матрицы есть главная и побочная диагонали :

побочная диагональ главная диагональ

Классификация квадратных матриц

Рассматривая матрицу как систему арифметических векторов, легко понять, что означает равенство матриц и как выполняются линейные операции над ними.

Равенство матриц

Две матрицы одинаковой размерности равны друг другу, если равны их соответствующие элементы 7 .

Для удобства записи утверждений, касающихся матриц, часто используют следующую символику:

В такой записи символ «» – обозначение любого из элементов матрицы, индексыi , j - текущие индексы , переменные, пробегающие значения, . Развернутая формула (3.2) выглядит так:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра « Информатика и прикладная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика

Направление подготовки (специальность): 040400Социальная работа (уровень бакалавриата)

Профиль образовательной программы Социальная работа

Форма обучения: заочная

Оренбург 2016 г.

1. Конспект лекций ……………………………………………………...

1.1 Лекция № 1 ……………………....................................

1.2 Лекция № 2 …………………………………….

1.3 Лекция № 3 ………………………………………

1.4 Лекция № 4 ………………………………………………….

1.5 Лекция № 5 ……………………

1.6 Лекция № 6 ………………………………………..

1.7 Лекция № 7 ……………………………………………………………………..….

1.8Лекция № 8 .……………………...…………………………….

Лекция № 9

2. Методические указания по проведению практических занятий ………

2.1 Практическое занятие №ПЗ -1 ………………….

2.2 Практическое занятие №ПЗ -2 ……………………

2.3 Практическое занятие №ПЗ -3 ……………………...

2.4 Практическое занятие №ПЗ -4 ……………………...

2.5 Практическое занятие №ПЗ -5 ……………………..

2.6 Практическое занятие №ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Практическое занятие №ПЗ -7 …………………………………………………….

2.8 Практическое занятие №ПЗ -8 …………………………………………………...

2.9 Практическое занятие №ПЗ -9 ……………………………………………………...

2.10 Практическое занятие №ПЗ -10 …………………..

2.11 Практическое занятие №ПЗ -11 ……………………..

2.12 Практическое занятие №ПЗ -12 ………………………………………………..

2.13 Практическое занятие №ПЗ -13 ………………………………………………….

2.14 Практическое занятие №ПЗ -14-15 ………………………………………………

2.15 Практическое занятие №ПЗ - 16 ………………

2.16Практическое занятие №ПЗ - 17 ………………

2.17Практическое занятие №ПЗ - 18 ………………

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

1.1Лекция 1 (2 ч.)

Тема:Элементы теории матиц и определителей. Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии

1.1.1 Вопросы лекции:

1.Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

2. Определители 2-го и 3-го порядка, способы вычисления.

3. Системы линейных уравнений, методы решения.

4. Уравнение прямой на плоскости, способы задания прямой на плоскости.

1.1.2. Краткое содержание вопросов:

Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

Матрицей называют таблицу, состоящую из n строк и m столбцов. Элементами матрицы могут быть числа или иные математиче­ские объекты.

A= B= C=

Прямоугольная таблица, содержащая т строкип столбцов действительных чисел называется числовойматрицей.

А m ´ n =
.

Числа а ij , составляющие матрицу, называются ее элементами , где i=1,2,…m номер строки, j=1,2,…n номер столбца.

Матрицы обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы строчными буквами.

Если число строк и столбцов одной матрицы равно числу строк и столбцов другой матрицы, то они называются одноразмерными матрицами.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей . Квадратную матрицу размером n´n называют матрицей n-ого порядка .

А 2 ´ 2 = - квадратная матрица 2-ого порядка

а 11 , а 22 элементы главной диагонали

а 12, а 21 элементы побочной диагонали

А 3 ´ 3 = квадратная матрица 3-его порядка

а 11 , а 22 , а 33 элементы главной диагонали

а 13, а 22 , а 31 элементы побочной диагонали

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

В=

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны 1, называется единичной матрицей.

Е= единичная матрица 3-его порядка

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей (0).

А= ; В=

Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е.(5) 1 ´ 1 есть 5.

Одноразмерные матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Квадратная матрица А -1 называется обратной по отношению к матрице А. тогда и только тогда, когда А*А -1 =А -1 *А=Е

Определение 1. Матрицей размера называют таблицу чисел

состоящую из строкистолбцовПри этом числа 1 называютсяэлементами матрицы Матрицуназываютквадратной матрицей размерности если число ее строк совпадает с числом столбцов

Часто матрицу обозначают так:Желая указать размеры матрицы, будем писатьа саму матрицу будем называтьматрицей.

Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами:

(т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах).

Умножение матрицы на число определяется равенством

(т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой умножить на это число).

Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы , т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

Сначала определяют произведение вектор-строки на

вектор-столбец(имеющих одинаковое число компонент):

Затем определяют

в) произведением матриц с согласованными размерами иназываетсяматрицай элемент которой получен умножениемй строки матрицынай столбец матрицы

Например,

Часто встречаются матрицы следующего специального вида:

1. Единичная матрица:

2. Диагональная матрица: (здесь и в матрице все элементы вне главной диагоналиравны нулю).

3.Треугольная матрица:

4. Матрица трапециевидной формы:

При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке элемент (-5) является опорным (здесь и ниже в рамке указан опорный элемент).

Определение 2. Матрица называется матрицейступенчатого вида, если в ней:

а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки;

б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые.

Ясно, что диагональная, верхне-треугольная и трапециевидная матрицы являются ступенчатыми. Другой пример матрицы ступенчатого вида:

2. Определители матрицы и их свойства

Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида

ставится в соответствие число

определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы Теперь введем понятие минора матрицы.

Определение 3. В матрице на пересечении любыхстрок истолбцов стоит матрицапорядка. Определитель матрицыназывается минором го порядка матрицы

Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица является квадратной.

Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы после вычеркивания её строки иго столбца,называется дополнительным минором элемента этой матрицы (обозначение:). Числоназываетсяалгебраическим дополнением элемента матрицы.

Определение 5 . Пусть в квадратной матрице выделена произвольная строкаОпределителем матрицы называется число

(т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так:

Как мы уже отметили выше, определитель порядка вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителейпорядка, то определительпорядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например,

Перечислим основные свойства определителей . Сначала заметим, что матрица полученная из матрицызаменой строк на столбцы с теми же номерами, называетсятран-

спонированной к матрицей. Обозначение:

1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю.

4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца) равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя:

6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя.

7) (сумма определителей)

8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц:

Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем

Свойство 5 доказано.