Введение:
Как вы ду-ма-е-те, что тя-же-лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз-дей? А что за-ни-ма-ет боль-ше места? Вот об этом мы се-год-ня будем го-во-рить. Будем раз-би-рать-ся, в чем же раз-ни-ца между объ-е-мом и мас-сой.
Определение объема
Объем - это то, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект, а масса - это то, сколь-ко он весит. Вот литр - это объем или масса? И как он свя-зан с ки-ло-грам-мом? В ма-га-зине мо-ло-ко про-да-ет-ся в лит-ро-вых бу-тыл-ках, вода про-да-ет-ся 1,5-2-лит-ро-вых бу-тыл-ках, сме-та-на про-да-ет-ся в бан-ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?
Измерение объема
Итак, да-вай-те возь-мем весы, бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм масла. Потом возь-мем дру-гую такую же бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм воды. А те-перь мы возь-мем тесто для блин-чи-ков и на-льем в такую же бу-тыл-ку 600 грамм. По-смот-ри-те, мы везде на-ли-ва-ли 600 грамм - одну и ту же массу, а уро-вень жид-ко-стей по-лу-чил-ся раз-ный, но масса не из-ме-ни-лась (см. рис. 1).
Рис. 1. Срав-не-ние уров-ней жид-ко-стей: масла, воды и теста для блин-чи-ков
Что же ме-ня-лось? Ме-ня-лось ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места. Как раз это - ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места - на-зы-ва-ют объ-е-мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по-лу-чил-ся раз-ный.
Так что же такое, спро-си-те вы, литр? Возь-мем колбу и на-льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко-то-рое за-ни-ма-ет 1 кг воды, до-го-во-ри-лись на-зы-вать лит-ром.
Да-вай-те еще раз сфор-му-ли-ру-ем. Объем - это число, по-ка-зы-ва-ю-щее, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект. А чем же, кроме лит-ров, ме-ря-ют объ-ект? Так же, как и у длины, и у пло-ща-ди су-ще-ству-ет много раз-ных спе-ци-аль-ных ве-ли-чин из-ме-ре-ния. На-при-мер, бар-рель. Бар-рель - это ко-ли-че-ство нефти, ко-то-рое по-ме-ща-ет-ся в бочку, опре-де-лен-но-го раз-ме-ра (см. рис. 2).
Рис. 2. Бар-рель
Или есть такая ве-ли-чи-на как гал-лон. Гал-лон - это ве-ли-чи-на, ко-то-рой поль-зу-ют-ся для из-ме-ре-ния в Ан-глии и в Аме-ри-ке. Но обыч-но объ-е-мы ме-ря-ют ку-би-че-ски-ми де-ци-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми сан-ти-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми мет-ра-ми. А как же со-от-но-сит-ся литр с ку-би-че-ским де-ци-мет-ром или мет-ром? На самом деле литр - это один ку-би-че-ский де-ци-метр (см. рис. 3).
Рис. 3. Литр - ку-би-че-ский де-ци-метр
То есть внутрь этого ку-би-ка по-ме-ща-ет-ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко-роб-ка, а сколь-ко туда по-ме-ща-ет-ся. Да-вай-те по-про-бу-ем в ку-би-че-ский де-ци-метр на-сы-пать муки. Или можно пе-ре-сы-пать муку в пакет - и все равно по-лу-чит-ся 1 литр (или 1 ку-би-че-ский де-ци-метр). То, что там внут-ри, будет литр или ку-би-че-ский де-ци-метр, по-то-му что не важно, какой формы, - важно, сколь-ко за-ни-ма-ет места.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Очень по-хо-же об-сто-ят дела с объ-е-мом пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Объем куба со сто-ро-ной 1 еди-ни-ца - это 1 ку-би-че-ская еди-ни-ца. Опять же, ис-ход-ные ли-ней-ные ве-ли-чи-ны могут быть лю-бы-ми: мил-ли-мет-ры, сан-ти-мет-ры, дюймы.
На-при-мер, 1 см3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 см, а 1 км3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 км.
Най-дем объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Пря-мо-уголь-ный па-рал-ле-ле-пи-пед
Ре-ше-ние
Объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да - это ко-ли-че-ство еди-нич-ных кубов, по-ме-ща-ю-щих-ся в него.
Уло-жим на дно ряд еди-нич-ных ку-би-ков со сто-ро-ной 1 см вдоль длин-ной сто-ро-ны. По-ме-сти-лось 7 штук. Уже по опыту ра-бо-ты с пря-мо-уголь-ни-ком мы знаем, что на дно по-ме-стит-ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж-дом. То есть всего:
На-зо-вем это слой. Сколь-ко таких слоев мы можем уло-жить друг на друга?
Это за-ви-сит от вы-со-ты. Она равна 4 см. Зна-чит, укла-ды-ва-ет-ся 4 слоя в каж-дом по 35 штук. Всего:
А от-ку-да у нас по-яви-лось число 35? Это 75. То есть ко-ли-че-ство ку-би-ков мы по-лу-чи-ли пе-ре-мно-же-ни-ем длин всех трех сто-рон.
Но это и есть объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Ответ: 140
Те-перь мы можем за-пи-сать фор-му-лу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем па-рал-ле-ле-пи-пе-да
Объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми , , равен про-из-ве-де-нию всех трех сто-рон.
Если длины сто-рон даны в сан-ти-мет-рах, то объем по-лу-чит-ся в ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах (см3).
Если в мет-рах, то объем в ку-би-че-ских мет-рах (м3).
Ана-ло-гич-но объем может быть из-ме-рен в ку-би-че-ских мил-ли-мет-рах, ки-ло-мет-рах и т. д.
Задача 1
Стек-лян-ный куб со сто-ро-ной 1 м на-пол-нен водой це-ли-ком. Ка-ко-ва масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Ре-ше-ние
Куб яв-ля-ет-ся еди-нич-ным. Сто-ро-на - 1 м. Объем - 1 м3.
Если мы знаем, сколь-ко весит 1 ку-би-че-ский метр воды (со-кра-щен-но го-во-рят ку-бо-метр), то за-да-ча ре-ше-на.
Но если мы этого не знаем, то нетруд-но по-счи-тать.
Длина сто-ро-ны .
По-счи-та-ем объем в дм3.
Но 1 дм3 имеет от-дель-ное на-зва-ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит-ров воды.
Нам всем из-вест-но, что масса од-но-го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
По-нят-но, что такой куб, на-пол-нен-ный водой, не под силу пе-ре-дви-нуть ни од-но-му обыч-но-му че-ло-ве-ку.
Ответ: 1 т.
Задача 2
Рис. 10. Хо-ло-диль-ник
Хо-ло-диль-ник имеет вы-со-ту 2 метра, ши-ри-ну 60 см и глу-би-ну 50 см. Найти его объем.
Ре-ше-ние
Пре-жде чем мы вос-поль-зу-ем-ся фор-му-лой объ-е-ма - про-из-ве-де-ние длин всех сто-рон - необ-хо-ди-мо пе-ре-ве-сти длины в оди-на-ко-вые еди-ни-цы из-ме-ре-ния.
Мы можем пе-ре-ве-сти все в метры или все в сан-ти-мет-ры.
Со-от-вет-ствен-но, и объем мы по-лу-чим или в ку-би-че-ских мет-рах, или ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах.
Сде-ла-ем и так, и так.
Ответ: или
Думаю, вы со-гла-си-тесь, что в ку-би-че-ских мет-рах объем более по-ня-тен.
Че-ло-век на глаз плохо от-ли-ча-ет число с пятью ну-ля-ми от числа с ше-стью ну-ля-ми, а ведь одно в 10 раз боль-ше, чем дру-гое.
Перевод единиц объема
Часто нам нужно пе-ре-ве-сти одну еди-ни-цу объ-е-ма в дру-гую. На-при-мер, ку-бо-мет-ры в ку-би-че-ские де-ци-мет-ры. Тя-же-ло за-пом-нить все эти со-от-но-ше-ния. Но этого и не нужно де-лать. До-ста-точ-но по-нять общий прин-цип.
На-при-мер, сколь-ко ку-би-че-ских сан-ти-мет-ров в ку-би-че-ском метре?
Да-вай-те по-смот-рим, сколь-ко ку-би-ков со сто-ро-ной 1 сан-ти-метр по-ме-стит-ся в куб со сто-ро-ной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укла-ды-ва-ет-ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укла-ды-ва-ет-ся 100 рядов или ку-би-ков.
Всего по-ме-ща-ет-ся 100 слоев.
Таким об-ра-зом,
То есть если ли-ней-ные ве-ли-чи-ны свя-за-ны со-от-но-ше-ни-ем «в одном метре 100 см», то чтобы по-лу-чить со-от-но-ше-ние для ку-би-че-ских ве-ли-чин, нужно воз-ве-сти 100 в 3 сте-пень (). И не нужно каж-дый раз чер-тить кубы.
Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.
Так же похожи, как круг и шар.
Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед
Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.
Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.
Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)
Рис. 2. Фигура
Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам
Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.
Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.
То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.
Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.
Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).
Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов
Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.
Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов
Давайте немного вспомним.
Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.
Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.
Рис. 6. Квадрат и прямоугольник
Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)
Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.
В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.
Итого площадь равна .
Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.
Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.
Или в общем виде:
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм 3 .
Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
819 Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры рис. 87. Найдите объемы и площади поверхностей этих фигур
820 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если а) a = 6 см, b = 10 см, c = 5 см; б) a = 30 дм, b = 20 дм, c = 30 дм; в) a = 8 дм, b = 6 м, c = 12 м; г) а = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см; д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.
821 Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объем равен 96 см3.
822 Объем комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.
823 Найдите объем куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.
824 Найдите объем куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.
825 Выразите: а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3; б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3; в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.
826 Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
827 Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
828 Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделен на две части Найдите объем и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объем параллелепипеда сумме объемов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.
830 Восстановите цепочку вычислений
831 Найдите значение выражения: а)23 + 32; б)33 + 52; в) 43 + 6; г) 103 - 10.
832 Сколько десятков получится в частном: а) 1652: 7; б) 774: 6; в) 1632: 12; г) 2105: 5
833 Согласны ли вы с утверждением: а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом; б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом; в) каждая грань куба квадрат?
834 Четыре одинаковые бочки вмещают 26 ведер воды. Сколько ведер воды могут вместить 10 таких бочек?
835 Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье с застежкой?
836 Назовите в прямоугольном параллелепипеде рис. 89: а) две грани, имеющие общее ребро; б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани; в) вертикальные ребра.
837 Решите задачу: 1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого. 2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.
838 Выполните действия: 668 · (3076 + 5081); 783 · (66 161 - 65 752); 2 111 022: (5960 - 5646); 2 045 639: (6700 - 6279)
839 На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объема ведра (около 12 л), штоф (десятая часть ведра). В США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), галлон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы, какие из них больше 1 м3?
840 Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 90. Объем каждого кубика равен 1 см3.
841 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 91)
842 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 48 дм, 16 дм и 12 дм.
843 Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.
844 Выразите в кубических дециметрах: 2 м3 350 дм3; 18 000 см3; 3 м3 7 дм3; 210 000 см3; 4 м3 30 дм3;
845 Объем прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.
846 С помощью формулы V = abc вычислите: а) V, если a = 3 дм, b = 4 дм, c = 5 дм; б) a, если V = 2184 см3, b = 12 см, c =13 см; в) b, если V = 9200 см3, a = 23 см, c = 25 см; г) ab если V = 1088 дм3, c = 17 см. Каков смысл произведения ab?
847 Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую a возраст отца через b возраст сына. Найдите по этой формуле: а) a, если b = 10; б) a, если b = 18; в) b, если a = 48.
848 Найдите значение выражения: а) 700 700 - 6054 · (47 923 - 47 884) - 65 548; б) 66 509 + 141 400: (39 839 - 39 739) + 1985; в) (851 + 2331) : 74 - 34; г) (14 084: 28 - 23) -27-12 060; д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895; е) 2555: (132 + 142) + 35.
849 Подсчитайте по таблице (рис. 92): а) сколько раз встречается цифра 9; б) сколько раз всего в таблице встречаются цифры 6 и 7 не считая их по отдельности; в) сколько раз всего встречаются цифры 5, б и 8 не считая их по отдельности
Параллелепипед - это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.
Геометрия параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями. Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.
Параллелепипеды в реальной жизни
Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда. Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров. Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.
Объем параллелепипеда
Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем - это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:
где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.
Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист - это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.
Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
V = a × b × h,
где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.
Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.
Примеры из жизни
Аквариум
К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума - важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей. Вычислить данную характеристику несложно - достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина - 50 см, а высота - 70 см. Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.
V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35
Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.
Строительство
Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент - это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания. Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача - это стандартный домик 6 на 6 метров. Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см. Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:
V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2
Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.
Заключение
Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.
Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.
С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.
Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.
Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.
Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .
1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.
2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.
За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .
кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .
Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .
При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .
Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.
Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc
где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:
V = a 3
где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .
V = abh = (ab)h = Sh .
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.
