ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
1.2 Моделирование систем массового обслуживания
1.3 Графы состояний СМО
1.4 Случайные процессы
Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1 Уравнения Колмогорова
2.2 Процессы «рождения – гибели»
2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании
3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании
3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов
3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью
3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью
3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введение
В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.
Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.
В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.
В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.
Глава I . Постановка задач массового обслуживание
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.
Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.
Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.
Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.
Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.
Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.
Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.
Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.
Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.
Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.
Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.
В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.
Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).
В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходятзаявки . Принято говорить, что заявкиобслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.
Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.
Примерами СМО (см. табл. 30.1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.
|
Таблица 30.1. Примеры систем массового обслуживания |
||||||||||||||||||
|
Но все эти системы объединены в один класс СМО, поскольку подход к их изучению един. Он состоит в том, что, во-первых, с помощью генератора случайных чисел разыгрываются случайные числа, которые имитируют СЛУЧАЙНЫЕ моменты появления заявок и время их обслуживания в каналах. Но в совокупности эти случайные числа, конечно, подчинены статистическим закономерностям.
К примеру, пусть сказано: «заявки в среднем приходят в количестве 5 штук в час». Это означает, что времена между приходом двух соседних заявок случайны, например: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, как это показано на рис. 30.1, но в сумме они дают в среднем 1 (обратите внимание, что в примере это не точно 1, а 1.1 - но зато в другой час эта сумма, например, может быть равной 0.9); и только за достаточно большое время среднее этих чисел станет близким к одному часу.
Результат (например, пропускная способность системы), конечно, тоже будет случайной величиной на отдельных промежутках времени. Но измеренная на большом промежутке времени, эта величина будет уже, в среднем, соответствовать точному решению. То есть для характеристики СМО интересуются ответами в статистическом смысле.
Итак, систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов. Ранее, в лекции 21 (см.рис. 21.1 ), мы уже разработали схему для такого статистического эксперимента (см. рис. 30.2).
Во-вторых, все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.
Перечислим некоторые основные понятия СМО.
Каналы - то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку). Источники заявок - порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону. Заявки, они же клиенты, входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки - такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки - поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.
Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out - первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out - последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример - патроны в рожке автомата). SF (Short Forward - короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.
Дадим яркий пример, показывающий, как правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию по времени.
Пусть имеется два магазина. В магазине № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO (см. рис. 30.3).
Время обслуживания t обслуж. на рис. 30.3 показывает, сколько времени продавец затратит на обслуживание одного покупателя. Понятно, что при покупке штучного товара продавец затратит меньше времени на обслуживание, чем при покупке, скажем, сыпучих продуктов, требующих дополнительных манипуляций (набрать, взвесить, высчитать цену и т. п). Время ожидания t ожид. показывает, через какое время очередной покупатель будет обслужен продавцом.
В магазине № 2 реализована дисциплина SF (см. рис. 30.4), означающая, что штучный товар можно купить вне очереди, так как время обслуживания t обслуж. такой покупки невелико.
Как видно из обоих рисунков, последний (пятый) покупатель собирается приобрести штучный товар, поэтому время его обслуживания невелико - 0.5 минут. Если этот покупатель придет в магазин № 1, он будет вынужден выстоять в очереди целых 8 минут, в то время как в магазине № 2 его обслужат сразу же, вне очереди. Таким образом, среднее время обслуживания каждого из покупателей в магазине с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а в магазине с дисциплиной обслуживания КВ - лишь 2.8 минуты. А общественная польза, экономия времени составит: (1 – 2.8/4) · 100% = 30 процентов! Итак, 30% сэкономленного для общества времени - и это лишь за счет правильного выбора дисциплины обслуживания.
Специалист по системам должен хорошо понимать ресурсы производительности и эффективности проектируемых им систем, скрытые в оптимизации параметров, структур и дисциплинах обслуживания. Моделирование помогает выявить эти скрытые резервы .
При анализе результатов моделирования важно также указать интересы и степень их выполнения. Различают интересы клиента и интересы владельца системы. Заметим, что эти интересы совпадают не всегда.
Судить о результатах работы СМО можно по показателям. Наиболее популярные из них:
вероятность обслуживания клиента системой;
пропускная способность системы;
вероятность отказа клиенту в обслуживании;
вероятность занятости каждого из канала и всех вместе;
среднее время занятости каждого канала;
вероятность занятости всех каналов;
среднее количество занятых каналов;
вероятность простоя каждого канала;
вероятность простоя всей системы;
среднее количество заявок, стоящих в очереди;
среднее время ожидания заявки в очереди;
среднее время обслуживания заявки;
среднее время нахождения заявки в системе.
Судить о качестве полученной системы нужно по совокупности значений показателей. При анализе результатов моделирования (показателей) важно также обращать внимание на интересы клиента и интересы владельца системы, то есть минимизировать или максимизировать надо тот или иной показатель, а также на степень их выполнения. Заметим, что чаще всего интересы клиента и владельца между собой не совпадают или совпадают не всегда. Показатели будем обозначать далее H = { h 1 , h 2 , …} .
Параметрами СМО могут быть: интенсивность потока заявок, интенсивность потока обслуживания, среднее время, в течение которого заявка готова ожидать обслуживания в очереди, количество каналов обслуживания, дисциплина обслуживания и так далее. Параметры - это то, что влияет на показатели системы. Параметры будем обозначать далее как R = { r 1 , r 2 , …} .
Пример. Автозаправочная станция (АЗС).
1. Постановка задачи . На рис. 30.5 приведен план АЗС. Рассмотрим метод моделирования СМО на ее примере и план ее исследования. Водители, проезжая по дороге мимо АЗС по дороге, могут захотеть заправить свой автомобиль. Хотят обслужиться (заправить машину бензином) не все автомобилисты подряд; допустим, что из всего потока машин на заправку в среднем заезжает 5 машин в час.
На АЗС две одинаковые колонки, статистическая производительность каждой из которых известна. Первая колонка в среднем обслуживает 1 машину в час, вторая в среднем - 3 машины в час. Владелец АЗС заасфальтировал для машин место, где они могут ожидать обслуживания. Если колонки заняты, то на этом месте могут ожидать обслуживания другие машины, но не более двух одновременно. Очередь будем считать общей. Как только одна из колонок освободится, то первая машина из очереди может занять ее место на колонке (при этом вторая машина продвигается на первое место в очереди). Если появляется третья машина, а все места (их два) в очереди заняты, то ей отказывают в обслуживании, так как стоять на дороге запрещено (см. дорожные знаки около АЗС). Такая машина уезжает прочь из системы навсегда и как потенциальный клиент является потерянной для владельца АЗС. Можно усложнить задачу, рассмотрев кассу (еще один канал обслуживания, куда надо попасть после обслуживания в одной из колонок) и очередь к ней и так далее. Но в простейшем варианте очевидно, что пути движения потоков заявок по СМО можно изобразить в виде эквивалентной схемы, а добавив значения и обозначения характеристик каждого элемента СМО, получаем окончательно схему, изображенную на рис. 30.6.
2. Метод исследования СМО . Применим в нашем примере принцип последовательной проводки заявок (подробно о принципах моделирования см.лекцию 32 ). Его идея заключается в том, что заявку проводят через всю систему от входа до выхода, и только после этого берутся за моделирование следующей заявки.
Для наглядности построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t ) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).
Для генерации времени прихода заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода двух случайных событий (см. лекцию 28 ):
В этой формуле величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее), r - случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ илитаблицы , в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).
Задача. Сгенерируйте поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 5 шт/час.
Решение задачи. Возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 (см. таблицу ), и вычислим их натуральные логарифмы (см. табл. 30.2).
|
Таблица 30.2. Фрагмент таблицы случайных чисел и их логарифмов |
||||||||||
|
Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = –Ln(r рр)/ λ . Тогда, учитывая, что λ = 5 , имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 часа. То есть события наступают: первое - в момент времени t = 0 , второе - в момент времени t = 0.68 , третье - в момент времени t = 0.89 , четвертое - в момент времени t = 1.20 , пятое - в момент времени t = 1.32 и так далее. События - приход заявок отразим на первой линейке (см. рис. 30.7).
|
|
||
|
Рис. 30.7. Временная диаграмма работы СМО |
Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «1 канал».
Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется по аналогичной формуле:
где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ 1 или μ 2 , в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку. Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и опускаем заявку на линейку «Обслуженные».
Заявка прошла в СМО весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также проимитировать путь второй заявки.
Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На рис. 30.7 это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.
Если все места в очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку «Отказанные». На рис. 30.7 это заявка с номером 6.
Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения T н. Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T н, равное 50-100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.
Аналитическое исследование систем массового обслуживания (СМО) является подходом, альтернативным имитационному моделированию, и состоит в получении формул для расчета выходных параметров СМО с последующей подстановкой значений аргументов в эти формулы в каждом отдельном эксперименте.
В моделях СМО рассматривают следующие объекты:
1) заявки на обслуживание (транзакты);
2) обслуживающие аппараты (ОА), или приборы.
Практическая задача теории массового обслуживания связана с исследованием операций этими объектами и состоит из отдельных элементов, на которые влияют случайные факторы.
В качестве примера задач, рассматриваемых в теории массового обслуживания, можно привести: согласование пропускной способности источника сообщения с каналом передачи данных, анализ оптимального потока городского транспорта, расчет емкости зала ожидания для пассажиров в аэропорту и пр.
Заявка может находиться либо в состоянии обслуживания, либо в состоянии ожидания обслуживания.
Обслуживающий прибор может быть либо занят обслуживанием, либо свободен.
Состояние СМО характеризуется совокупностью состояний обслуживающих приборов и заявок. Смена состояний в СМО называется – событие.
Модели СМО используются для исследования процессов происходящие в системе, при подаче на входы потоков заявок. Эти процессы представляют собой последовательность событий.
Важнейшие выходные параметры СМО
Производительность
Пропускная способность
Вероятность отказа в обслуживании
Среднее время обслуживания;
Коэффициент загрузки оборудования (ОА).
Заявками могут быть заказы на производство изделий, задачи, решаемые в вычислительной системе, клиенты в банках, грузы, поступающие на транспортировку и др. Очевидно, что параметры заявок, поступающих в систему, являются случайными величинами и при исследовании или проектировании могут быть известны лишь их законы распределения.
В связи с этим анализ функционирования на системном уровне, как правило, носит статистический характер. В качестве математического аппарата моделирования удобно принять теорию массового обслуживания, а в качестве моделей систем на этом уровне использовать системы массового обслуживания.
Простейшие модели СМО
В простейшем случае СМО представляет собой некоторое устройство, называемое обслуживающим аппаратом (ОА), с очередями заявок на входах.
М о д е л ьо б с л у ж и в а н и я с о т к а з а м и (рис.5.1)
Рис. 5.1. Модель СМО с отказами:
0 – источник заявок;
1 – обслуживающий прибор;
а – входной поток заявок на обслуживание;
в – выходной поток обслуженных заявок;
с – выходной поток необслуженных заявок.
В этой модели отсутствует накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка выходит из системы (так как ей отказано в обслуживании) и теряется (поток с ).
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о ж и д а н и е м (рис. 5.2)
Рис. 5.2. Модель СМО с ожиданием
(N– 1) – количество заявок, которое может поместиться в накопителе
В этой модели имеется накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка попадает в накопитель, где неограниченно долго ожидает, пока освободится ОА.
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о г р а н и ч е н н ы м в р е м е н е м
о ж и д а н и я (рис. 5.3)
Рис. 5.4. Многоканальная модель СМО с отказами:
n – количество одинаковых обслуживающих аппаратов (приборов)
В этой модели имеется не один ОА, а несколько. Заявки, если это специально не оговорено, могут поступать к любому свободному от обслуживания ОА. Накопителя нет, поэтому данная модель включает свойства модели, показанной на рис. 5.1: отказ в обслуживании заявки означает ее безвозвратную потерю (это происходит только в том случае, если в момент прихода этой заявки все ОА заняты).
в р е м е н е м о ж и д а н и я (рис. 5.5)
Рис. 5.6. Многоканальная модельСМО с ожиданием и восстановлением ОА:
e – обслуживающие аппараты, вышедшие из строя;
f – восстановленные обслуживающие аппараты
Данная модель обладает свойствами моделей, представленных на рис. 5.2 и 5.4, а кроме того свойствами, позволяющими учитывать возможные случайные отказы ОА, которые в этом случае поступают в ремонтный блок 2, где пребывают в течение случайных промежутков времени, затрачиваемых на их восстановление, а затем вновь возвращаются в обслуживающий блок 1.
М н о г о к а н а л ь н а я м о д е л ь СМО с о г р а н и ч е н н ы м
в р е м е н е м о ж и д а н и я и в о с с т а н о в л е н и е м ОА (рис. 5.7)
 |
Рис. 5.7. Многоканальная модель СМО с ограниченным временем ожидания и восстановлением ОА
Данная модель является довольно сложной, поскольку одновременно учитывает свойства двух не самых простых моделей (рис. 5.5 и 5.6).
Курсовая работа
«Имитационное моделирование системы массового обслуживания»
по курсу «Исследование операций»
Введение
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.
Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО используются:
– Абсолютная пропускная способность системы (А
Q
– вероятность отказа обслуживания заявки ();
k );
– среднее число заявок в очереди ();
СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.
Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования.
1. Основные характеристики CМОи показатели их эффективности
1.1 Понятие марковского случайного процесса
Пусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно.
Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
При анализе процессов работы СМО удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками. Пример графа состояний приведен на рис. 1.
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.
Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: .
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и число событий, попадающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.
1.2 Уравнения Колмогорова
Все переходы в системе из состояния в состояние происходят под некоторым потоком событий. Пусть система находится в некотором состоянии , из которого возможен переход в состояние , тогда можно считать, что на систему воздействует простейший поток с интенсивностью , переводящий ее из состояния в . Как только появляется первое событие потока, происходит ее переход . Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки, соответствующей переходу, указывается интенсивность . Такой размеченный граф состояний позволяет построить математическую модель процесса, т.е. найти вероятности всех состояний как функции времени. Для них составляются дифференциальные уравнения, называемые уравнениями Колмогорова.
Правило составлений уравнений Колмогорова: В левой части каждого из уравнений стоит производная по времени от вероятности данного состояния. В правой части стоит сумма произведений всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.
Например, для графа состояний, приведенного на рис. 1, уравнения Колмогорова имеют вид:
Т.к. в правой части системы каждое слагаемое входит 1 раз со знаком и 1 раз со знаком , то, складывая все уравнений, получим, что
,
,
Следовательно, одно из уравнений системы можно отбросить и заменить уравнением (1.2.1).
Чтобы получить конкретное решение надо знать начальные условия, т.е. значения вероятностей в начальный момент времени.
1.3 Финальные вероятности и граф состояний СМО
При достаточно большом времени протекания процессов в системе (при ) могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов м. перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е.
Смысл финальных вероятностей состоит в том, что они равны среднему относительному времени нахождения системы в данном состоянии.
Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны нулю, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания нулю их правых частей.
Графы состояний, используемые в моделях систем массового обслуживания, называются схемой гибели и размножения. Такое название обусловлено тем, что эта схема используется в биологических задачах, связанных с изучением численности популяции. Его особенность состоит в том, что все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим (рис 2).
Рис. 2. Граф состояний в моделях СМО
Предположим, что все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие. По графу, представленному на рис. 2, составим уравнения для финальных вероятностей системы. Они имеют вид:
 |
Получается система из ( n +1) уравнения, которая решается методом исключения. Этот метод заключается в том, что последовательно все вероятности системы выражаются через вероятность .
,
.
Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, находим , затем находим остальные вероятности состояний СМО.
1.4 Показатели эффективности СМО
Цель моделирования СМО состоит в том, чтобы рассчитать показатели эффективности системы через ее характеристики. В качестве показателей эффективности СМО используются:
– абсолютная пропускная способность системы (А ), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
– относительная пропускная способность (Q ), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;
– вероятность отказа (), т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной;
– среднее число занятых каналов (k );
– среднее число заявок в СМО ();
– среднее время пребывания заявки в системе ();
– среднее число заявок в очереди () – длина очереди;
– среднее число заявок в системе ();
– среднее время пребывания заявки в очереди ();
– среднее время пребывания заявки в системе ()
– степень загрузки канала (), т.е. вероятность того, что канал занят;
– среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
– среднее время ожидания обслуживания;
– вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания, среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
(1.4.1)
Формулы (1.4.1) и (1.4.2) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее, т.е. оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .
Формулы для вычисления показателей эффективности приведены в таб. 1.
Таблица 1.
| Показатели | Одноканальная СМО с ограниченной очередью |
Многоканальная СМО с ограниченной очередью |
Финальные вероятности |
|
|
Вероятность |
 |
 |
Абсолютная пропускная способность |
 |
|
Относительная пропускная способность |
 |
|
Среднее число заявок в |
 |
 |
Среднее число заявок под обслуживанием |
 |
|
| Среднее число заявок в системе |  |
1.5 Основные понятия имитационного моделирования
Основная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов.
Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статический эксперимент.
Из теории функций случайных величин известно, что для моделирования случайной величины с любой непрерывной и монотонно возрастающей функцией распределения достаточно уметь моделировать случайную величину , равномерно распределенную на отрезке . Получив реализацию случайной величины , можно найти соответствующую ей реализацию случайной величины , так как они связаны равенством
Предположим, что в некоторой системе массового обслуживания время обслуживания одной заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром , где – интенсивность потока обслуживания. Тогда функция распределения времени обслуживания имеет вид
Пусть - реализация случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , а – соответствующая ей реализация случайного времени обслуживания одной заявки. Тогда, согласно (1.5.1)
1.6 Построение имитационных моделей
Первый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.
Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы.
Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию очередной заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на 1. Аналогично длина очереди уменьшается на 1, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.
Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д.
Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы.
При компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия.
Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием.
Поскольку основной целью является получение данных наблюдений с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно:
1) увеличить длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования изучаемой системы. В этом случае не только увеличивается вероятность достижения системой стационарного режима функционирования, но и возрастает число используемых псевдослучайных чисел, что также положительно влияет на качество получаемых результатов.
2) при фиксированной длительности времени Т имитационного моделирования провести N вычислительных экспериментов, называемых еще прогонами модели, с различными наборами псевдослучайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Все прогоны начинаются при одном и том же начальном состоянии моделируемой системы, но с использованием различных наборов псевдослучайных чисел. Преимуществом этого метода является независимость получаемых наблюдений , показателей эффективности системы. Если число N модели достаточно велико, то границы симметричного доверительного интервала для параметра определяются следующим образом:
, 
, т.е. 
, где
Исправленная дисперсия, 
,
N – число прогонов программы, – надежность, .
2. Аналитическое моделирование СМО
2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с ограниченной очередью равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.
Данная система имеет 7 состояний, обозначим их:
S 0 – система свободная, нет заявок;
S 1 – 1 заявка на обслуживании, очередь пуста;
S 2 – 2 заявки на обслуживании, очередь пуста;
S 3 – 2 заявки на обслуживании, 1 заявка в очереди;
S 4 – 2 заявки на обслуживании, 2 заявки в очереди;
S 5 – 2 заявки на обслуживании, 3 заявки в очереди;
S 6 – 2 заявки на обслуживании, 4 заявки в очереди;
Вероятности прихода системы в состояния S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 соответственно равны Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 .
Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим.
Рис. 3. Граф состояний двухканальной СМО
Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова:
Чтобы решить данную систему зададим начальные условия:
Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).
Метод Эйлера
где
- в нашем случае, это правые части уравнений Колмогорова, n=6.
Выберем шаг по времени . Предположим , где Т
– это время, за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов 
. Последовательно N
раз вычисляя по формуле (1) получим зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис. 4.
Значения вероятностей СМО при равны:
Рис. 4. Зависимости вероятностей состояний системы от времени
|
|
|
|
|
|
При достаточно большом времени протекания процессов в системе () могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. 
Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО.
Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).
Получим финальные вероятности системы:
Сравнение вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при , с финальными вероятностями показывает, что ошибки 
равны:
Т.е. достаточно малы. Это подтверждает правильность полученных результатов.
2.3 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям
Найдем показатели эффективности системы массового обслуживания.
Сначала вычислим приведенную интенсивность потока заявок:
1) Вероятность отказав обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди), это соответствует состоянию системы S 6 . Т.к. вероятность прихода системы в состояние S 6 равна Р 6 , то
4) Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди, равна сумме произведений числа заявок в очереди на вероятность соответствующего состояния.
5) Среднее время пребывания заявки в очередиопределяется формулой Литтла:
3. Имитационное моделирование СМО
3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)
Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с максимальной длиной очереди равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.
Для имитации СМО воспользуемся одним из методов статистического моделирования – имитационным моделированием. Будем использовать пошаговый подход. Суть этого подхода в том, что состояния системы рассматриваются в последующие моменты времени, шаг между которыми является достаточно малым, чтобы за его время произошло не более одного события.
Выберем шаг по времени (). Он должен быть много меньше среднего времени поступления заявки () и среднего времени ее обслуживания (), т.е.
Где (3.1.1)
Исходя из условия (3.1.1) определим шаг по времени .
Время поступления заявки в СМО и время ее обслуживания являются случайными величинами. Поэтому, при имитационном моделировании СМО их вычисление производится с помощью случайных чисел.
Рассмотрим поступление заявки в СМО. Вероятность того, что на интервале в СМО поступит заявка, равна: 
. Сгенерируем случайное число , и, если 
, то будем считать, что заявка на данном шаге в систему поступила, если 
, то не поступила.
В программе это осуществляет isRequested () . Интервал времени примем постоянным и равным 0,0001, тогда отношение будет равно 10000. Если заявка поступила, то она принимает значение «истина», в противном случае значение «ложь».
bool isRequested()
double r = R. NextDouble();
if (r < (timeStep * lambda))
Рассмотрим теперь обслуживание заявки в СМО. Время обслуживания заявки в системе определяется выражением 
, где – случайное число. В программе время обслуживания определяется с помощью функции GetServiceTime
()
.
double GetServiceTime()
double r = R. NextDouble();
return (-1/mu*Math. Log (1-r, Math.E));
Алгоритм метода имитационного моделирования можно сформулировать следующим образом. Время работы СМО (Т ) разбивается на шаги по времени dt , на каждом из них выполняется ряд действий. Вначале определяются состояния системы (занятость каналов, длина очереди), затем, с помощью функции isRequested () , определяется, поступила ли на данном шаге заявка или нет.
Если поступила, и, при этом имеются свободные каналы, то с помощью функции GetServiceTime () генерируем время обработки заявки и ставим ее на обслуживание. Если все каналы заняты, а длина очереди меньше 4, то помещаем заявку в очередь, если же длина очереди равна 4, то заявке будет отказано в обслуживании.
В случае, когда на данном шаге заявка не поступала, а канал обслуживания освободился, проверяем, есть ли очередь. Если есть, то из очереди заявку ставим на обслуживание в свободный канал. После проделанных операций время обслуживания для занятых каналов уменьшаем на величину шага dt .
По истечении времени Т , т.е., после моделирования работы СМО, вычисляются показатели эффективности работы системы и результаты выводятся на экран.
3.2 Блок-схема программы
Блок-схема программы, реализующей описанный алгоритм, приведена на рис. 5.
Рис. 5. Блок-схема программы
Распишем некоторые блоки более подробно.
Блок 1. Задание начальных значений параметров.
Random R; // Генератор случайных чисел
public uint maxQueueLength; // Максимальная длина очереди
public uint channelCount; // Число каналов в системе
public double lambda; // Интенсивность потока поступления заявок
public double mu; // Интенсивность потока обслуживания заявок
public double timeStep; // Шагповремени
public double timeOfFinishProcessingReq; // Время окончания обслуживания заявки во всех каналах
public double timeInQueue; // Время пребывания СМО в состояниях с очередью
public double processingTime; // Времяработысистемы
public double totalProcessingTime; // Суммарноевремяобслуживаниязаявок
public uint requestEntryCount; // Числопоступившихзаявок
public uint declinedRequestCount; // Числоотказанныхзаявок
public uint acceptedRequestCount; // Числообслуженныхзаявок
uint queueLength; // Длина очереди //
Тип, описывающий состояния СМО
enum SysCondition {S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6};
SysCondition currentSystemCondition; // Текущее состояние системы
Задание состояний системы. Выделим у данной 2-х канальной системы 7 различных состояний: S 0 , S 1 . S 6 . СМО находится в состоянии S 0 , когда система свободна; S 1 – хотя бы один канал свободен; в состоянии S 2 , когда все каналы заняты, и есть место в очереди; в состоянии S 6 – все каналы заняты, и очередь достигла максимальной длины (queueLength = 4).
Определяем текущее состояние системы с помощью функции GetCondition()
SysCondition GetCondition()
SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0;
int busyChannelCount = 0;
for (int i = 0; i < channelCount; i++)
if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)
busyChannelCount++;
p_currentCondit += k * (i + 1);
if (busyChannelCount > 1)
{p_currentCondit ++;}
return p_currentCondit + (int) QueueLength;
Изменение времени пребывания СМО в состояниях с длиной очереди 1, 2,3,4. Это реализуется следующим программным кодом:
if (queueLength > 0)
timeInQueue += timeStep;
if (queueLength > 1)
{timeInQueue += timeStep;}
Присутствует такая операция, как помещение заявки на обслуживание в свободный канал. Просматриваются, начиная с первого, все каналы, когда выполняется условие timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (канал свободен), в него подается заявка, т.е. генерируется время окончания обслуживания заявки.
for (int i = 0; i < channelCount; i++)
if (timeOfFinishProcessingReq [i] <= 0)
timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();
totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];
Обслуживаниезаявоквканалахмоделируетсякодом:
for (int i = 0; i < channelCount; i++)
if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)
timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;
Алгоритм метода имитационного моделирования реализован на языке программирования C#.
3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования
Наиболее важными являются такие показатели, как:
1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди). Для нахождения вероятности отказа разделим время пребывания СМО в состоянии с очередью 4 на общее время работы системы.
2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой.
3) Абсолютная пропускная способность– это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.
4) Длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди. Длина очереди равна сумме произведений числа человек в очереди на вероятность соответствующего состояния. Вероятности состояний найдем как отношение времени нахождения СМО в этом состоянии к общему времени работы системы.
5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла
6) Среднее число занятых каналовопределяется следующим образом:
7) Процент заявок, которым было отказано в обслуживании, находится по формуле
8) Процент обслуженных заявок находится по формуле
3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования
Т.к. показатели эффективности получаются в результате моделирования СМО в течение конечного времени, они содержат случайную компоненту. Поэтому, для получения более надежных результатов нужно провести их статистическую обработку. С этой целью оценим доверительный интервал для них по результатам 20 прогонов программы.
Величина попадает в доверительный интервал, если выполняется неравенство
, где
математическое ожидание (среднее значение), находится по формуле
Исправленная дисперсия,
,
N =20 – число прогонов,
– надежность. При и N =20 .
Результат работы программы представлен на рис. 6.
Рис. 6. Вид программы
Для удобства сравнения результатов, полученных различными методами моделирования, представим их в виде таблицы.
Таблица 2.
Показатели эффективности СМО |
Результаты аналитического моделирования |
Результаты имитационного моделирования (послед. шаг) |
Результаты имитационного моделирования | |
Нижняя граница доверительного интервала |
Верхняя граница доверительного интервала |
|||
| Вероятность отказа | 0,174698253017626 | 0,158495148639101 |
0,246483801571923 | |
| Относительная пропускная способность | 0,825301746982374 | 0,753516198428077 | 0,841504851360899 | |
| Абсолютная пропускная способность | 3,96144838551539 | 3,61687775245477 | 4,03922328653232 | |
| Средняя длина очереди | 1,68655313447018 | 1,62655862750852 | 2,10148609204869 | |
| Среднее время пребывания заявки в очереди | 0,4242558575 | 0,351365236347954 | 0,338866380730942 | 0,437809602510145 |
| Среднее число занятых каналов | 1,9807241927577 | 1,80843887622738 | 2,01961164326616 | |
Из табл. 2 видно, что результаты, полученные при аналитическом моделировании СМО, попадают в доверительный интервал, полученный по результатам имитационного моделирования. Т.е., результаты, полученные разными методами, согласуются.
Заключение
В данной работе рассмотрены основные методы моделирования СМО и расчета показателей их эффективности.
Проведено моделирование двухканальной СМО с максимальной длиной очереди равной 4 с помощью уравнений Колмогорова, а также, найдены финальные вероятности состояний системы. Рассчитаны показатели ее эффективности.
Проведено имитационное моделирование работы такой СМО. На языке программирования C# составлена программа, имитирующая ее работу. Проведена серия расчетов, по результатам которых найдены значения показателей эффективности системы и выполнена их статистическая обработка.
Полученные при имитационном моделировании результаты согласуются с результатами аналитического моделирования.
Литература
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.
2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 435 с.
3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 447 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с.
5. Ивницкий В.Л. Теория сетей массового обслуживания. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с.
6. Исследование операций в экономике/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004. – 407 с.
7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ИД «Вильямс», 2005. – 902 с.
8. Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. – Минск: Дизайн ПРО, 1997. – 288 с.
Рисунок 0 - 2 Потоки событий (а) и простейший поток (б)
10.5.2.1. Стационарность
Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной τ (
Рисунок 0-2 , а) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок.
Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не меняются в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий среднее число событий в единицу времени для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.
На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые мы называем «стационарными» в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.
10.5.2.2. Отсутствие последействия
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).
В таких потоках события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.
Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени t 0 , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал t 0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.
Рисунок 0 - 3 Распределение Пуассона
Рассмотрим на оси t простейший поток событий с интенсивностью λ. (Рисунок 0-2 б). Нас будет интересовать случайный интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке; найдем его закон распределения. Сначала найдем функцию распределения:
F(t) =
P(T
т. е. вероятность того, что величина Т будет иметь значение, меньшее, чем t . Отложим от начала интервала Т (точки t 0 ) отрезок t и найдем вероятность того, что интервал Т будет меньше t . Для этого нужно, чтобы на участок длины t , примыкающий к точке t 0 , попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F (t ) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):
F (t ) = 1 - Р0
Вероятность Р 0 найдем по формуле (1), полагая m = 0:
откуда функция распределения величины Т будет:
(0-3)
Чтобы найти плотность распределения f (t ) случайной величины Т, необходимо продифференцировать выражение (0‑1) по t :
0-4)
Закон распределения с плотностью (0‑4) называется показательным (или экспоненциальным). Величина λ называется параметром показательного закона.
Рисунок 0 - 4 Экспоненциальное распределение
Найдем числовые характеристики случайной величины Т - математическое ожидание (среднее значение) M [ t ]= m t , и дисперсию D t . Имеем
( 0-5)
(интегрируя по частям) .
Дисперсия величины Т составляет:
(0-6)
Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Т.
Итак, для показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны друг другу и обратны параметру λ, где λ. интенсивность потока.
Т.о., появление m событий в заданный промежуток времени соответствует пуассоновскому распределению, а вероятность того, что временные интервалы между событиями будут меньше некоторого наперед заданного числа, соответствует экспоненциальному распределению. Все это лишь различные описания одного и того же стохастического процесса.
Пример СМО- 1 .
В качестве примера рассмотрим банковскую систему, работающую в реальном масштабе времени и обслуживающую большое число клиентов. В часы пик запросы от кассиров банка, работающих с клиентами, образуют пуассоновский поток и поступают в среднем по два в 1 с (λ = 2).Поток состоит из заявок, поступающих с интенсивностью 2 заявки в секунду.
Рассчитаем вероятность Р (m ) появления m сообщений в 1 с. Так как λ = 2, то из предыдущей формулы имеем
Подставляя m = 0, 1, 2, 3, получим следующие величины (с точностью до четырех десятичных знаков):
Рисунок 0 - 5 Пример простейшего потока
Возможно поступление и более 9 сообщений в 1 с, но вероятность этого очень мала (около 0,000046).
Полученное распределение может быть представлено в виде гистограммы (показана на рисунке).
Пример СМО- 2 .
Прибор (сервер), обрабатывающей три сообщения в 1с.
Пусть имеется оборудование, которое может обрабатывать три сообщения в 1 с (µ=3). Поступает всреднем два сообщения в 1с, причем в соответствии c распределением Пуассона. Какая часть этих сообщений будет обрабатываться сразу же после поступления?
Вероятность того, что скорость поступления будет меньше или равна 3 с, определяется выражением
Если система может обрабатывать максимум 3 сообщения в 1 с, то вероятность того, что она не будет перегружена, равна
Другими словами, 85,71% сообщений будут обслуживаться немедленно, а 14,29% с некоторой задержкой. Как видим, задержка в обработке одного сообщения на время, большее времени обработки 3 сообщений, будет встречаться редко. Время обработки 1сообщения составляет в среднем 1/3 с. Следовательно, задержка более 1с будет редким явлением, что вполне приемлемо для большинства систем.
Пример СМО- 3
· Если кассир банка занят в течение 80% своего рабочего времени, а остальное время он тратит на ожидание клиентов, то его можно рассматривать как устройство с коэффициентом использования 0,8.
· Если канал связи используется для передачи 8-битовых символов со скоростью 2400 бит/с, т. е. передается максимум 2400/8 символов в 1 с, и мы строим систему, в которой суммарный объем данных составляет 12000 символов, посылаемых от различных устройств через канал связи в минуту наибольшей нагрузки (включая синхронизацию, символы конца сообщений, управляющие и т. д.), то коэффициент использования оборудования канала связи в течение этой минуты равен
· Если механизм доступа к файлу в час наибольшей нагрузки осуществляет 9000 обращений к файлу, а время одного обращения равно в среднем 300 мс, то коэффициент использования оборудования механизма доступа в час наибольшей нагрузки составляет
Понятие коэффициента использования оборудования будет использоваться довольно часто. Чем ближе коэффициент использования оборудования к 100%, тем больше задержки и длиннее очереди.
Используя предыдущую формулу, можно составить таблицы значений функции Пуассона, по которым можно определить вероятность поступления m или более сообщений в данный отрезок времени. Например, если в среднем поступает 3,1 сообщения в секунду [т. е. λ = 3,1], то вероятность поступления 5 и более сообщений в данную секунду равна 0,2018 (для m = 5 в таблице). Или в аналитическом виде
Используя это выражение, специалист по системному анализу может рассчитать вероятность того, что система не обеспечит заданный критерий нагрузки.
Часто первоначальные расчеты могут быть проведены для значений загрузки оборудования
ρ ≤ 0,9
Эти значения можно получить с помощью таблиц Пуассона.
Пусть снова средняя скорость поступления сообщений λ = 3,1 сообщения/с. Из таблиц следует, что вероятность поступления 6 или более сообщений в 1 с равна 0,0943. Следовательно, это число можно взять в качестве критерия нагрузки для проведения начальных расчетов.
10.6.2. Задачи проектирования
При случайном характере поступления сообщений в устройство последнее затрачивает часть времени на обработку или обслуживание каждого сообщения, в результате чего образуются очереди. Очередь в банке ожидает освобождения кассира и его компьютера (терминала). Очередь сообщений во входном буфере ЭВМ ожидает обработки процессором. Очередь требований к массивам данных ждет освобождения каналов и т. д. Очереди могут образовываться во всех узких местах системы.
Чем больше коэффициент использования оборудования, тем длиннее возникающие очереди. Как будет показано ниже, можно спроектировать удовлетворительно работающую систему с коэффициентом использований ρ =0,7 но коэффициент, превышающий ρ > 0,9, может привести к ухудшению качества обслуживания. Другими словами, если канал пересылки массива данных имеет загрузку 20%, вряд ли на нем возникнет очередь. Если же загрузка; составляет 0,9, то, как правило, будут образовываться очереди, иногда очень большие.
Коэффициент использования оборудования равен отношению нагрузки на оборудование к максимальной нагрузке, которую может выдержать это оборудование, или равен отношению времени занятости оборудования к общему времени его функционирования.
При проектировании системы обычно делается оценка коэффициента использования для различных видов оборудования; соответствующие примеры будут приведены в последующих главах. Знание этих коэффициентов позволяет рассчитать очереди к соответствующему оборудованию.
· Какова длина очереди?
· Сколько времени на нее будет затрачиваться?
На вопросы подобного типа можно ответить с помощью теории очередей.
10.6.3. Системы массового обслуживания, их классы и основные характеристики
Для СМО потоки событий это потоки заявок, потоки «обслуживании» заявок и т. д. Если эти потоки не являются пуассоновскими (марковский процесс), математическое описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого аппарата, доведение которого до аналитических формул удается только в простейших случаях.
Однако, аппарат «марковской» теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского с его помощью характеристики эффективности СМО могут быть оценены приближенно. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные с помощью марковской теории. Кроме того, в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик зачастую достаточно приближенного, ориентировочного.
СМО классифицируются на системы с:
· отказами (с потерями). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.
· ожиданием (с очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Когда канал освобождается, одна из заявок, стоящих в очереди, принимается к обслуживанию.
Обслуживание (дисциплина очереди) в системе с ожиданием может быть
· упорядоченным (заявки обслуживаются в порядке поступления),
· неупорядоченным (заявки обслуживаются в случайном порядке) или
· стековым (первой из очереди выбирается последняя заявка).
· Приоритетным
o со статическим приоритетом
o с динамическим приоритетом
(в последнем случае приоритет может, например, увеличиваться с длительностью ожидания заявки).
Системы с очередью делятся на системы
· с неограниченным ожиданием и
· с ограниченным ожиданием.
В системах с неограниченным ожиданием каждая заявка, поступившая в момент, когда нет свободных каналов, становится в очередь и «терпеливо» ждет освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Любая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена.
В системах с ограниченным ожиданием на пребывание заявки в очереди накладываются те или другие ограничения. Эти ограничения могут касаться
· длины очереди (числа заявок, одновременно находящихся в очереди система с ограниченной длиной очереди),
· времени пребывания заявки в очереди (после какого-то срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит система с ограниченным временем ожидания),
· общего времени пребывания заявки в СМО
и т. д.
В зависимости от типа СМО при оценке ее эффективности могут применяться те или другие величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик ее продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.
Наряду с абсолютной часто рассматривается относительная пропускная способность СМО средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок).
Помимо абсолютной и относительной пропускной способностей при анализе СМО с отказами нас могут, в зависимости от задачи исследования, интересовать и другие характеристики, например:
· среднее число занятых каналов;
· среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала
и т. д.
СМО с ожиданием имеют несколько другие характеристики. Очевидно, для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способность теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными характеристиками являются:
· среднее число заявок в очереди;
· среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием);
· среднее время ожидания заявки в очереди;
· среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием);
а также и другие характеристики ожидания.
Для СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик: как абсолютная и относительная пропускная способности, так и характеристики ожидания.
Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы: число каналов п, интенсивность потока заявок λ , производительность каждого канала (среднее число заявок μ, обслуживаемое каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).
В зависимости от значений этих параметров выражаются характеристики эффективности работы СМО.
10.6.4. Формулы расчета характеристик СМО для случая обслуживания с одним прибором
Рисунок 0 - 6 Модель системы массового обслуживания с очередью
Такие очереди могут создаваться сообщениями на входе процессора, ожидающими начала обработки. Они могут возникать при работе абонентских пунктов, подключенных к многопунктовому каналу связи. Аналогично образуются очереди из автомобилей на заправочных станциях. Однако при наличии более одного входа на обслуживание мы имеем очередь со многими приборами и анализ усложняется.
Рассмотрим случай простейшего потока заявок на обслуживание.
Назначение излагаемой теории очередей состоит в приближенном определении среднего размера очереди, а также среднего времени, затрачиваемого сообщениями на ожидание в очередях. Желательно также оценить, насколько часто очередь превышает определенную длину. Эти сведения позволят нам вычислить, например, необходимый объем буферной памяти для хранения очередей сообщений и соответствующих программ, необходимое количество линий связи, необходимые размеры буферов для концентраторов и т. д. Появится возможность оценивать времена ответа.
Каждая из характеристик меняется в зависимости от используемых средств.
Рассмотрим очередь с одним прибором обслуживания. При проектировании вычислительной системы большинство очередей подобного типа рассчитывается по приведенным формулам. коэффициент вариации времени обслуживания
Формула Хинчина-Полачека используется для вычисления длин очередей при проектировании информационных систем. Она применяется в случае экспоненциального распределения времени поступления при любом распределении времени обслуживания и любой дисциплине управления, лишь бы выбор очередного сообщения для обслуживания не зависел от времени обслуживания.
При проектировании систем встречаются такие ситуации возникновения очередей, когда дисциплина управления несомненно зависит от времени обслуживания. Например, в некоторых случаях мы можем выбрать для первоочередного обслуживания более короткие сообщения, чтобы получить меньшее среднее время обслуживания. При управлении линией связи можно присвоить входным сообщениям более высокий приоритет, чем выходным, ибо первые короче. В таких случаях уже необходимо использовать не уравнение Хинчина
Большинство значений времени обслуживания в информационных системах лежит где-то между этими двумя случаями. Времена обслуживания, равные постоянной величине, встречаются редко. Даже время доступа к твердому диску непостоянно из-за различного положения массивов с данными на поверхности. Одним из примеров, иллюстрирующих случай постоянного времени обслуживания может служить занятие линии связи для передачи сообщений фиксированной длины.
С другой стороны, разброс времени обслуживания не так велик, как в случае произвольного или экспоненциального его распределения, т.е., σ s редко достигает значений t s . Этот случай иногда считают "наихудшим и потому пользуются формулами, относящимися к экспоненциальному распределению времен обслуживания. Такой расчет может дать несколько завышенные размеры очередей и времен ожидания в них, но эта ошибка, по крайней мере, не опасна.
Экспоненциальное распределение времен обслуживания, конечно, не наихудший случай, с которым приходится иметь дело в действительности. Однако, если времена обслуживания, полученные при расчете очередей, оказываются распределенными хуже, чем времена с экспоненциальным распределением, это часто является предостерегающим сигналом для разработчика. Если стандартное отклонение больше среднего значения, то обычно возникает необходимость в коррекции расчетов.
Рассмотрим следующий пример. Имеется шесть типов сообщений с временами обслуживания 15, 20, 25, 30, 35 и 300. Число сообщений каждого типа одинаково. Стандартное отклонение указанных времен несколько выше их среднего. Значение последнего времени обслуживания намного больше других. Это приведет к тому, что сообщения будут находиться в очереди значительно дольше, чем, если бы времена обслуживания были одного порядка. В таком случае при проектировании целесообразно принять меры для уменьшения длины очереди. Например, если указанные цифры связаны с длинами сообщений, то, возможно, очень длинные сообщения стоит разделить на части.
10.6.6. Пример расчета
При проектировании банковской системы желательно знать число клиентов, которым придется ожидать в очереди к одному кассиру в часы пик.
Время ответа системы и его стандартное отклонение рассчитаны с учетом времени ввода данных с АРМа, печатания и оформления документа.
Действия кассира были прохронометрированы. Время обслуживания ts равно общему времени, затрачиваемому кассиром на клиента. Коэффициент использования кассира ρ пропорционален времени его занятости. Если λ число клиентов в часы пик, то ρ для кассира равно
Предположим, что в часы пик приходит 30 клиентов в час. В среднем кассир тратит 1,5 мин на клиента. Тогда
ρ =(1,5 * 30) / 60 = 0,75
т. е. кассир используется на 75%.
Число людей в очереди можно быстро оценить с помощью графиков. Из них следует, что если ρ = 0,75, то среднее число nq людей в очереди у кассы лежит между 1,88 и 3,0 в зависимости от стандартного отклонения для t s .
Предположим, что измерение стандартного отклонения для t s дало величину 0,5 мин. Тогда
σ s = 0,33 t s
Из графика на первом рисунке находим, что nq = 2,0, т. е. в среднем у кассы буду ожидать два клиента.
Общее время, в течение которого клиент стоит у кассы, может быть найдено как
t ∑ = t q + t s = 2,5 мин + 1,5 мин=4мин
где t s вычисляется с помощью формулы Хинчина-Полачека.
10.6.7. Фактор усиления
Анализируя кривые, изображенные на рисунках, мы видим, что, когда оборудование, обслуживающее очередь, используется более чем на 80%, кривые начинают расти с угрожающей быстротой. Этот факт очень важен при проектировании систем передачи данных. Если мы проектируем систему, в которой оборудование используется более чем на 80%, то незначительное увеличение трафика может привести к резкому спаду производительности системы или даже заставить ее работать в аварийном режиме.
Увеличение входного трафика на небольшое число х%. приводит к увеличению размеров очереди приблизительно на
Если коэффициент использования оборудования равен 50%, то это увеличение равно 4ts % для экспоненциального закона распределения времени обслуживания. Но если коэффициент использования оборудования равен 90%, то увеличение размера очереди равно 100ts %, что в 25 раз больше. Незначительное увеличение нагрузки при 90%-ном использовании оборудования приводит к 25-кратному увеличению размеров очереди по сравнению со случаем 50%-ного использования оборудования.
Аналогично время пребывания в очереди увеличивается на
При экспоненциально распределенном времени обслуживания эта величина имеет значение 4 t s 2 для коэффициента использования оборудования, равного 50%, и 100 t s 2 для коэффициента 90%, т. е. снова в 25 раз хуже.
Кроме того, для малых коэффициентов использования оборудования влияние изменений σs на размер очереди незначительно. Однако для больших коэффициентов изменение σ s сильно сказывается на размере очереди. Поэтому при проектировании систем с высоким коэффициентом использования оборудования желательно получить точные сведения о параметре σ s . Неточность предположения относительно экспоненциальности распределения t s наиболее ощутима при больших значениях ρ. Более того, если вдруг время обслуживания возрастет, что возможно в каналах связи при передаче длинных сообщений, то в случае большого ρ образуется значительная очередь.
