Таблица 2

Таблица 1

Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования

Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - значит задать правило или закон, согласно которому данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у .

Рассмотрим способы задания функции .

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m 0 е – kt , где m 0 и m – соответственно,исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k – некоторая постоянная положительная величина.

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t : U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t . На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция – y = f(x) = x n , где х – аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция – y = f(x) = a x , где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0 ), например:

y = 10 x (a = 10);

y = e x ; y = e -x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = e x – возрастающая экспонента, y = e - x – убывающая экспонента.

3.Логарифмическая функция с любым основанием а : y = log a x , где у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x.

Если основание а = 10 , то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x ; если a=e , то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х .

Напомним некоторые правила логарифмирования :

Пусть даны два числа а и b , тогда:

· lg (a·b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln .

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 1):

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой переменная х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремится к нулю .

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Введем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x 1 до х 2 , то разность x 2 – x 1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х ) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y 2 – y 1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис. 2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (Δх → 0).

Производная функции обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x »). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(4)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх , найти приращение функции Δy , составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0 .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже.

Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z , то используются нижеприведенные правила дифференцирования (табл. 2).

Приведем несколько примеров вычисления производных, используя таблицы 1 и 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x · sin x)" = (x)" · sin x + x · (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5 tgx)" = 5 (tg x)" = .

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстрота (темп) изменения функции.

Рассмотрим пример прямолинейного движения. Скорость тела равна отношению пути ΔS , пройденного телом за время Δt , к этому промежутку времени v = . Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δ t→0 , т.е.

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (5)

В механике - вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x , т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных .

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала .

При малых Δx можно записать:

. (6)

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По образцу сказаний о непрерывности функции , «раскрутка» темы начинается с изучения явления в отдельно взятой точке, и только потом оно распространяется на числовые промежутки.

Что такое производная?
Определение и смысл производной функции

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32

1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :

Уравнение
называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей
- графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени
от некоторого момента до момента
. За время тело прошло путь а за время - путь
. Значит, за единиц времени оно прошло путь

.

Если движение равномерное, то есть линейная функция :

В этом случае
, и отношение
показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :

В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки
на рис. 1) можно провести самые различные линии
- графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок
, являющийся графиком равномерного в интервале
движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние
.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала
, лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость нельзя рассматривать как удовлетворительную характеристику движения: она (средняя скорость) зависит от интервала, для которого производится расчет. Исходя из того, что среднюю скорость в интервале следует считать тем лучше характеризующей движение, чем меньше , заставим стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости , то его и принимают в качестве скорости движения в данный момент .

Определение . Скоростью прямолинейного движения в данный момент времени называется предел средней скорости , соответствующей интервалу , при стремлении к нулю:

Пример. Запишем закон свободного падения:

.

Для средней скорости падения в интервале времени имеем

а для скорости в момент

.

Отсюда видно, что скорость свободного падения пропорциональна времени движения (падения).

2.Производная

Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции.

2.1 Скорость изменения функции. Каждое из четырех специальных понятий: скорость движения, плотность, теплоемкость,

скорость химической реакции, несмотря на существенное различие их физического смысла, является с математической точки зрения, как легко заметить, одной и той же характеристикой соответствующей функции. Все они представляют собой частные виды так называемой скорости изменения функции, определяемой, так же как и перечисленные специальные понятия, с помощью понятия предела.

Разберем поэтому в общем виде вопрос о скорости изменения функции
, отвлекаясь от физического смысла переменных
.

Пусть сначала
- линейная функция:

.

Если независимая переменная получает приращение
, то функция получает здесь приращение
. Отношение
остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком функция рассматривается, ни от того, какое взято .

Это отношение называется скоростью изменения линейной функции. Но если функция не линейная, то отношение

зависит и от , и от . Это отношение только «в среднем» характеризует функцию при изменении независимой переменкой от данного до
; оно равно скорости такой линейной функции, которая при взятом имеет то же приращение
.

Определение. Отношение называется средней скоростью изменения функции в интервале
.

Ясно что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы заставляем стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости, то он принимается в качестве меры, скорость изменения функции при данном , и называется скоростью изменения функции.

Определение . Скоростью изменения функции в данной точке называется предел средней скорости изменения функции в интервале при стремлении к нулю:

2.2 Производная функция. Скорость изменения функции

определяется посредством такой последовательности действий:

1) по приращению , придаваемому данному значению , находится соответствующее приращение функции

;

2) составляется отношение ;

3) находится предел этого отношения (если он существует)

при произвольном стремлении к нулю.

Как уже отмечалось, если данная функция не линейная,

то отношение зависит и от , и от . Предел этого отношения зависит только от выбранного значения и является, следовательно, функцией от . Если же функция линейная, то рассматриваемый предел не зависит и от , т. е. будет величиной постоянной.

Указанный предел называется производной функцией от функции или просто производной от функции и обозначается так:
.Читается: «эф штрих от » или «эф прим от ».

Определение . Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении, этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно
.

Пользуясь введенным определением производной, можно сказать, что:

1) Скорость прямолинейного движения есть производная от

функции по (производная от пути по времени).

2.3 Производная степенной функции.

Найдем производные от некоторых простейших функций.

Пусть
. Имеем

,

т. е. производная
есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.

Если
, то

Пусть
, тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
при
. Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна
.

.

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

.

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :

.

При
из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Этот результат верен для любого показателя , например:

.

Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины

.

Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то
. Следовательно,

,

т. е. производная постоянной равна нулю.

2.4 Геометрический смысл производной.

Производная от функции имеет очень простой и наглядный геометрический смысл, который тесно связан с понятием касательной к линии.

Определение . Касательной
к линии
в ее точке
(рис. 2). называется предельное положение прямой, проходящей через точку , и другую точку
линии, когда эта точка стремится слиться с данной точкой .

.Учебное пособие

Есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой. 1 называется производной функции в направлении и обозначается. Итак, - (1) - скорость изменения функции в точке...